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EDL du 1er ordre

Dans cette vidéo, Mathis de Studio résout deux problèmes de Cauchy, qui sont des équations différentielles linéaires d'ordre 1 avec des conditions initiales. Pour résoudre chacune de ces équations, il utilise la méthode de la solution homogène et de la solution particulière en appliquant la variation de la constante. Pour la première équation, il trouve que l'ensemble des solutions ne contient qu'un seul élément. Pour la deuxième équation, il trouve également qu'il n'y a qu'une seule solution qui vérifie la condition initiale. La méthode pour la solution particulière et l'importance de sommer les solutions homogènes et particulières avant d'appliquer la condition proposée sont soulignées.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va résoudre des problèmes de Cauchy. Alors ça correspond à quoi un problème de Cauchy? C'est à la fois une équation différentielle et puis des conditions initiales pour la fonction en question. Alors on demande de résoudre les équations différentielles suivantes. La première c'est y' plus tangente de ty égale sinus de t sachant que y' doit valoir 1. Donc ça, ça correspond à un problème de Cauchy puisqu'on est sur une équation différentielle linéaire d'ordre 1 et on a une condition initiale. Le théorème de Cauchy qu'il y a derrière, c'est qu'il y a une unique solution vis-à-vis de ce problème de Cauchy. Donc on sait à peu près à quoi s'attendre. Alors, c'est parti pour la résolution. On commence par les solutions homogènes. L'équation à considérer c'est y' plus tangente de ty égale 0. Or, une primitive de tangente, si on ne se souvient plus, on doit écrire tangente comme sinus sur cosinus et là on reconnaît un quasi u' sur u et donc c'est t associé à ln, moins ln de cosinus t sur moins pi sur 2, pi sur 2. Donc la solution homogène, c'est la solution qui a t associé, moins a cosinus t, a appartenant à R. J'ai mis un moins, j'aurais pu ne pas en mettre puisque a est un réel quelconque. Alors, en solution particulière, on a b de t qui est égal à sinus de t. Donc, à partir de là, on n'a pas grand chose dans nos mains, donc on va faire la variation de la constante. On pose a de t, donc ys qui a t associé, moins a de t, a devient une fonction de t, cosinus de t. Et à ce moment-là, ys' c'est moins a' cos de t plus a de t sinus t. ys est solution de E, si et seulement si, au final, a' de t est égal à moins 2 sinus t et donc a de t, en primitivant, est égal à 2 cosinus t plus c. Donc attention, la solution particulière, c'est bien en multipliant moins a t avec cos t. Donc, ys qui a t associé, moins 2 cos4t est solution particulière de l'équation E. Maintenant, on sait que l'ensemble des solutions, c'est la somme de la solution homogène et de la solution particulière. Mais là, elle doit vérifier la condition initiale. Donc y en 0, on somme les deux. On avait donc moins a cos0, moins 2 cos2 en 0, ça doit valoir 1. Or, ici, cos0 ça vaut 1, pareil pour cos2. Donc finalement, a est égal à moins 3, il est fixé. Donc on avait un ensemble de réels possibles pour les solutions homogènes. Maintenant, on a plus qu'une seule solution, en effet, ça résout un problème de Cauchy. Et donc, on a bien qu'une seule solution. Alors, je vais redémarrer ça. Donc au final, l'ensemble de solutions, ça va être un ensemble très petit, vu qu'il ne va contenir qu'une seule solution. a est égal à moins 3. Ainsi, l'ensemble de solutions, c'est seulement la fonction qui a t associé, 3 cosinus t, moins 2 cos4t. Donc c'est un singleton, il ne contient qu'un seul élément. Alors, la deuxième équation qu'on a à résoudre, c'est x plus 1 y prime plus xy qui est égal à x carré moins x plus 1, sachant que y doit vérifier y en 1, qui vaut 1. Alors, on nous dit qu'on pourra rechercher une solution particulière sous la forme d'un polynôme. En effet, le second membre, c'est un polynôme de 2 degrés 2, donc sans doute, on va essayer de trouver un polynôme. Alors, c'est parti. La solution homogène, c'est y prime plus x sur 1 plus x, y est égal à 0. Alors là, on est embêté vu que c'est à la fois un polynôme au-dessus et un polynôme en dessous, qui ont le même degré. Donc c'est pas grave. Lorsque c'est le même degré, pour trouver une primitive, on fait des plus-moins. Donc ici, c'est tout simple vu qu'on a juste à rajouter 1 pour que ça fasse le polynôme d'en bas, et à du coup soustraire 1 pour compenser. Et au final, la fonction qu'on considère, c'est 1 moins 1 sur 1 plus x, et ça admet pour une primitive, bien x moins ln de 1 plus x. Donc, la solution homogène, c'est la solution qui a x associé à facteur de x plus 1 exponentiel de moins x, a étant un réel. Alors, pour trouver une solution particulière, et bien, ici, le second membre, c'est un polynôme. Donc on pose ys qui a x associé à de x plus b. A ce moment là, ys est solution de E, si et seulement si, a facteur de x plus 1 plus ax² plus bx est égal à x² moins x plus 1. Alors j'ai posé ys qui est égal à ax plus b, puisque dans l'équation juste ici, y est multiplié par x. Donc, on a juste à avoir de la puissance 1 pour obtenir de la puissance 2. On résout le petit système qu'on obtient, et on trouve a égale 1 et b égale moins 2. Donc ys qui a x associé à x moins 2 est solution particulière de l'équation. Maintenant, on somme les deux et on doit vérifier la condition. On ne doit pas oublier de sommer les deux avant de vérifier la condition. Ce n'est ni yh qui doit vérifier la condition, ni ys. C'est la somme des deux. Donc y en 0, c'est yh en 0, donc a exponentielle de moins 1. C'est en 1, pardon, ce n'est pas en 0. C'est donc a facteur de 1 plus 1 exponentielle de moins 1 plus ys en 1, donc 1 moins 2. Et ça doit valoir 1. Donc a est égal à E, E puissance 1. Il est fixé, avant il pouvait prendre une infinité de valeurs, maintenant il est fixé. Donc l'ensemble de solutions, c'est encore un singleton, il n'y a qu'une seule solution, c'est la fonction qui a x associé, x plus 1 exponentielle de 1 moins x plus x moins 2. Il n'y a plus de barre qui signifiait le paramètre qui pouvait varier. Donc voilà, c'est la fin de ces deux résolutions de système de Cauchy. Donc bien retenir la méthode pour la solution particulière de variation de la constante. Et puis après, la seule astuce qu'il faut retenir, c'est qu'il faut bien sommer les solutions homogènes et particulières avant d'appliquer la condition proposée, y en 0 égale à 1 ou y en 1 égale à 1, peu importe. Et au final on se retrouve avec une seule solution. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis je vous dis à bientôt!

Avec condition initiale

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