Home

MPSI/PCSI

Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 1er ordre

Dans cette vidéo, Matisse de Studio étudie le circuit RC série. Le circuit est composé d'un générateur de tension continue, d'une résistance et d'un condensateur. L'objectif est d'établir l'équation différentielle vérifiée par la tension au bord du condensateur (UC).

Pour cela, Matisse utilise la loi des mailles qui indique que UC + RI = E. Il remplace ensuite le courant (I) par C * dUC/dt, où C est la capacité du condensateur. En simplifiant l'expression, il obtient l'équation différentielle : dUC/dt + (1/RC) * UC = E/(RC).

Pour résoudre cette équation, Matisse détermine les conditions initiales. Le condensateur est initialement déchargé, ce qui signifie que UC(0-) = 0. Il utilise ensuite cette condition de continuité pour déterminer la constante dans la solution générale de l'équation homogène.

Ensuite, Matisse cherche une solution particulière en supposant que la tension est constante par rapport au temps. Il trouve que la tension associée est E. En sommant la solution générale et la solution particulière, il obtient la solution globale de l'équation différentielle : UC(t) = E * (1 - exp(-t/RC)).

Matisse représente graphiquement cette solution, montrant qu'elle augmente exponentiellement et tend vers E lorsque t tend vers l'infini. Il calcule également la dérivée de UC par rapport au temps en t = 0, qui vaut E/(RC).

Enfin, Matisse effectue une étude énergétique du circuit. Il montre que l'énergie accumulée dans le condensateur au cours de l'évolution du régime vaut 1.5 * C * E^2. De plus, l'énergie dissipée par l'effet joule dans la résistance est également de 1.5 * C * E^2. Ainsi, la somme de l'énergie accumulée et dissipée égale l'énergie fournie par le générateur.

En conclusion, cette vidéo donne une étude complète du circuit RC série, en expliquant les étapes pour établir l'équation différentielle, résoudre celle-ci et effectuer une étude énergétique.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va étudier le circuit RC série. Alors l'NOC nous indique qu'on étudie la charge d'un condensateur dans un circuit RC série. A t égale 0, le condensateur est initialement déchargé et on ferme l'interrupteur. Donc on peut représenter tout d'abord le circuit que l'on considère avec un générateur de tension continue, une résistance et puis le condensateur dont on étudie la charge. Première question, établir l'équation différentielle vérifiée par UC, la tension au bord du condensateur. Bien, on va commencer sur des méthodes très classiques, c'est à dire que pour établir des équations différentielles, on va tout d'abord faire une loi des mailles. Alors la loi des mailles, qu'est ce qu'elle nous dit ? Elle nous dit que UC de T plus RI de T, c'est bien égal à E, on est d'accord sur ça. Mais en fait I, c'est aussi le courant qui traverse le condensateur. Donc on a alors la relation courant-tension pour le condensateur. Elle nous donne I de T, c'est C, D de U de C sur DT. On remplace dans l'expression et puis ce que j'ai fait c'est donc on obtenait RC, D de U de C sur DT, et on divise par RC pour avoir en fait un terme normalisé ici. Enfin c'est plutôt un 1, c'est très courant dans les équations différentielles de normaliser le terme de plus haut degré de dérivation. Donc on a finalement D de U de C sur DT plus 1 sur RC UC est égal à E divisé par RC. C'est la relation 1. Ensuite, quelles sont les conditions initiales puisqu'on nous demande de résoudre l'équation différentielle précédente ? Pour résoudre une équation différentielle, on a besoin de conditions initiales d'un instant donné. Les conditions initiales, en fait, on n'en a besoin que d'une seule. Je ne sais pas à quel moment, c'est pour ça que des fois ça tombe un peu mal, le cours sur les équations différentielles de maths est fait après l'électricité, mais lorsqu'on a un degré 1 de dérivation ici, on n'a besoin que d'une seule condition initiale. Déterminons-la. Alors, le condensateur, on nous dit dans l'NOC qu'il est initialement déchargé. Donc UC en 0 mois vaut 0. Mais là, attention, attention, il y a un gros gros piège dans lequel je suis tombé un nombre incalculable de fois, c'est que les grandeurs que l'on manipule en électricité, les courants, les tensions, elles ne sont a priori pas du tout continues. C'est-à-dire qu'à un instant donné, juste avant, et à l'instant juste après, ça peut être totalement différent. Ce n'est pas forcément contenu. Il y a par contre des relations de continuité très précises pour des dipôles, et c'est le cas notamment du condensateur. Alors là, on va sortir une phrase, c'est peut-être la phrase que j'ai la plus prononcée dans ma vie, je ne sais pas, mais en tout cas, on dit « il y a continuité de la tension au borne d'un condensateur ». Donc, il y a deux phrases magiques, donc ça c'est la première, « il y a continuité de la tension au borne d'un condensateur ». C'est-à-dire que UC, la tension au borne du condensateur, en 0+, c'est égal à celle en 0-, c'est la condition de continuité, et donc ça vaut 0. C'est bon, on a déterminé la condition initiale. La condition initiale, c'est bien en 0+. Et on demande de résoudre l'équation différentielle précédente. Alors là, on part sur une résolution d'équation différentielle, donc il y a vraiment un schéma type à retenir et qu'il faut appliquer à chaque fois. Beaucoup de mes élèves lésinent un peu sur ce côté, se disent « je retiens à peu près les idées ». Non, on se cadre, on apprend la méthode une bonne fois pour toutes, et après c'est toujours la même. Donc c'est très pratique, c'est un gain de temps dont il faut servir. Donc, pour résoudre une équation différentielle d'ordre 1, il faut bien déjà repérer la classe dans laquelle se trouve l'équation différentielle qu'on considère. Première étape, on cherche une solution générale. Pour la solution générale, elle est la solution de l'équation homogène associée. L'équation homogène, c'est celle pour le second terme égal 0, donc d2uc sur dt plus 1 sur rc uc2t vaut 0. Alors là, c'est du cours, il faut connaître que la solution générale pour une équation homogène, c'est A, un facteur pré-exponentiel qui est une constante, fois exponentiel de moins t fois le coefficient qu'il y a devant le degré 0 de dérivation. Donc ici, très clairement, c'est uc2t, et il faut A exponentiel de moins t divisé par rc. Hop, on a la solution générale. Deuxième étape, on cherche une solution particulière. Une solution particulière pour cette équation qu'il faut chercher. Vu que ça intervient deux fois uc2t dans l'équation, c'est pratique de se ramener à une seule. Si on cherche une tension qui est constante par rapport au temps, ce second terme vaudra 0. Donc là, très clairement, la fonction qui a t associé E, elle est solution de l'équation, sa dérivée est nulle, et puis on a bien E sur rc qui est égale à E sur rc. Donc t associé E vérifie l'équation différentielle. Troisième étape, on somme et on cherche les constantes. Donc la solution globale, ça va être la solution de l'équation homogène plus la solution particulière qu'on a trouvée. Et ensuite, on n'a pas totalement fini, puisqu'on a dit que c'est une constante, mais on n'a pas déterminé. On a juste posé une grandeur comme ça, a. Pour chercher la constante, c'est là qu'on mobilise la condition initiale qu'on a déterminée précédemment. Donc uc en 0+, on remplace dans l'équation directement, ça c'est une méthode que je conseille, c'est de directement évaluer dans l'expression qu'on a posée. Donc en 0, l'exponential de 0 ça vaut 1. Donc a plus e égale 0. On a dit 8, a égale moins e. Très simplement, et puis finalement on remplace dans l'expression pour avoir l'expression finale, uc de t vaut e facteur de 1 moins l'exponential de moins t divisé par rc. Voilà l'expression de uc de t. On est en train de représenter graphiquement maintenant cette solution. C'est une solution en exponentielle croissante, vu qu'il y a le moins. On sait qu'elle part de 0, et puis lorsqu'on fait une étude, lorsque t tend vers plus infini, l'exponentielle de moins l'infini ça vaut 0, donc finalement ça tend vers e. Ce qu'on peut faire pour déterminer un peu plus précisément la courbe, c'est dériver pour avoir la dérivée à l'origine. d de uc sur dt, ça vaut, en dérivant l'expression qu'on a eu ici, e sur rc, exponentielle de moins t sur rc, et donc en 0 ça vaut e divisé par rc. Donc ça nous donne des informations un peu plus précises sur la tangente à l'origine. Ce qu'on peut faire aussi c'est introduire, ça c'est une notion très importante dans l'électricité, c'est introduire un temps caractéristique. Alors un temps caractéristique, c'est une grandeur qui est la dimension d'un temps, et c'est en fait, par identification dans l'équation différentielle, c'est le facteur devant le terme de premier degré. Degré 0 de télévation encore une fois. Donc ici on aurait pu poser 1 sur taux qui vaut 1 sur rc. C'est à dire taux qui vaut rc. Là je me suis trompé, là ça vaut rc. Et donc, qu'est-ce qu'il nous indique ce taux, ce temps caractéristique ? Et bien en fait c'est le temps caractéristique d'évolution de la tension, et il nous indique qu'au bout d'un certain temps, au bout d'un temps taux, la grandeur a atteint 0,63 fois la tension finale, la valeur finale de cette grandeur. C'est quand même une donnée très intéressante, vu qu'à partir de l'équation on peut se ramener encore à la détermination de cette grandeur. Dernière question, on nous demande de faire une étude énergétique dans ce circuit. Donc globalement, avant de s'attaquer à cette question, on a le générateur qui va fournir de l'énergie, le condensateur qui va en accumuler, et la résistance, on sait que ça dissipe de l'énergie via l'effet joule. Maintenant il faut le démontrer. Donc, l'énergie accumulée dans un condensateur, on sait que c'est 1,5 de c fois la tension de ce condensateur au calme. Ici, pour avoir la variation d'énergie, on pourrait mettre un petit delta, ce serait un peu plus rigoureux. DeltaEc, c'est 1,5 de c fois la tension au carré à l'infini, moins la tension en zéro. Donc, initialement ça valait zéro, et en infini on a démontré que ça valait E. Donc au final, l'énergie accumulée par le condensateur au cours de l'évolution, elle vaut 1,5 de ce carré. Alors, pour déterminer l'énergie qui a été dissipée par l'effet joule, on a la formule de l'énergie dissipée par l'effet joule, c'est l'intégrale sur l'intervalle de temps qu'on considère, donc ici de zéro à plus infini, de la puissance dissipée par l'effet joule fois dt. Or, la puissance dissipée par l'effet joule, on la connaît bien, c'est U fois I, et ici vu que c'est une résistance, c'est Ri². I, on peut le déterminer, car c'est c fois d2UC sur dt. Donc ça vaut E sur R exponentielle de moins T sur RC, et donc là, à ce moment-là, on a l'expression de la puissance dissipée par l'effet joule. On peut faire l'intégration, donc là, il faut être à l'aise sur les intégrales, et quand on intègre entre zéro et plus infini, il n'y a que le terme en zéro qui reste, et au final, on obtient que l'énergie dissipée par l'effet joule, c'est 1,5 de CE². Donc, on a fini l'exercice, mais si on reprend pour avoir une vision un peu plus globale, sur toute l'évolution du régime, il y a 1,5 de CE² qui a été accumulé dans le condensateur, et 1,5 de CE² qui a été dissipé par la résistance, via l'effet joule. Ça veut dire que le générateur a proposé à donner une énergie qui vaut CE², donc la somme de ce qui a été accumulé plus que ce qui a été perdu. Effectivement, si on fait le calcul, je ne l'ai pas fait dans cet exercice, mais si on fait le calcul rigoureusement, on démontre que l'énergie fournie par le condensateur, c'est bien CE², donc on retombe sur nos pattes. Voilà, c'était une étude très complète du circuit RC-Series, vraiment déterminante dans toute cette approche, il faut être capable de le refaire tout seul, toutes les méthodes sont à connaître, et c'est un exercice très enrichissant. Merci d'avoir suivi avec moi, et puis je vous dis à bientôt !

RC série

RELATED

Recommended videos

RL série

Bobines et resistances