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Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 1er ordre

Dans cette vidéo, Matisse de Studio étudie le circuit RL série en analysant la décharge d'une bobine lorsque l'interrupteur est ouvert en régime permanent. En établissant l'équation différentielle, on résoud l'équation et détermine l'intensité à travers la bobine. La représentation de la solution montre une exponentielle décroissante, avec une tangente négative et un temps caractéristique pour atteindre 0,63% de la valeur finale. L'étude énergétique montre que l'énergie stockée dans la bobine est dissipée par effet Joule, permettant ainsi de redémontrer que l'énergie de la bobine se perd par cette dissipation.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va étudier un circuit très classique, le circuit RL série. Alors, on a étudié la décharge d'une bobine dans un circuit RL série. L'interrupteur est fermé et le circuit est en régime permanent. A t égale 0, on ouvre l'interrupteur. On peut tout d'abord faire un schéma. Eh bien, avant d'ouvrir l'interrupteur, on avait une tension de courant continu qui alimentait une bobine et une résistance. Puis quand on a ouvert l'interrupteur, eh bien il n'y a plus de tension pour les alimenter. Première question, établir l'équation différentielle vérifiée par IL, l'intensité à travers la bobine. Comme très souvent, pour établir une équation différentielle, on établit tout d'abord la loi des mailles. La loi des mailles nous dit que la tension aux bandes de la bobine, qui est L dividé par IL sur dt, plus la tension aux bandes de la résistance RL est égale à 0. Il n'y a plus de tension pour les alimenter. Ici, toute la tension est récupérée par l'interrupteur. Très bien, eh bien on a quasiment déjà l'équation différentielle que l'on souhaite. La petite étape qu'on peut faire en plus, c'est de normaliser le terme de dérivation plus au-delà. Ici, on mettra 1 en divisant par L le tout. Donc finalement, l'équation différentielle qu'on a, c'est d dividi de L sur dt plus R sur L IL est égale à 0. Très bien, on a établi l'équation différentielle. Ensuite, quelles sont les conditions initiales? Résoudre l'équation différentielle. Pour résoudre cette équation différentielle, c'est important de savoir la classer. C'est une équation différentielle linéaire, il n'y a pas de terme au carré, ou autre. Et d'ordre 1, il y a un seul degré de dérivation. Pour l'ordre 1, on a besoin d'une condition initiale. Pour cela, on va se pencher sur ce qui s'est passé à l'instant 0-. Tous les termes sont importants dans l'énoncé. On était en régime permanent. C'est à dire qu'il n'y avait plus de variation des différentes grandeurs que l'on étudie. En particulier, pour la tension au bord de la bobine, on avait ul en 0- qui est égale à L d2il sur dt en 0-. Or, il n'y avait plus de variation de n'importe quelle grandeur, donc ça fait 0. Ainsi, la tension au bord de la bobine était nulle, donc ça fait un fil de tension. Et donc on avait ce schéma là. Ici, on détermine directement il en 0-. Attention, c'est bien en 0-. il en 0- vaut E sur R via la loi d'O. Et là, on sort la deuxième phrase que l'on répète à longueur de temps, mais qui est super importante. Elle permet de faire la junction entre l'instant en 0- et l'instant en 0+. C'est, il y a continuité du courant qui traverse une bobine. Ça tombe bien, vu que c'est exactement il dont on parle. Il en 0+, c'est égal à il en 0-, et donc c'est égal à E sur R. On a la première condition initiale qui va nous permettre de déterminer iL. On reprend l'équation de différence linéaire, et maintenant c'est bon, on peut se lancer dans la résolution. Première étape, on le rappelle, c'est toujours la recherche de la solution homogène. Pour ça, on écrit l'équation homogène. On a du bol vu que l'équation homogène, c'est l'équation en elle-même. La solution de l'équation homogène ici, c'est A exponentielle de moins R sur L fois T, avec A qui est égale à une constante. Si on ne se souvient plus très bien de la formule, si on a quelques trous de mémoire, ce n'est pas grave. Qu'est-ce qu'on fait? On dérive par rapport au temps. Si on dérive cette expression par rapport au temps, il y a un moins R sur L qui vient tomber. Le reste reste IL, donc moins R sur L IL plus L sur L IL, ça fait bien 0. Donc c'est la bonne solution. Deuxième étape, on cherche une solution particulière, en général une constante. Ici, vu que c'est déjà l'équation homogène, il n'y a pas besoin de solution particulière, en tout cas c'est 0. La troisième étape, ça va être de sommer la solution homogène et la solution particulière. La solution de l'équation différentielle, c'est la somme des deux, ici on a un plus 0, donc c'est IL de T qui vaut A exponentielle de moins R sur L fois T. Mais on n'a pas totalement répondu à la question, vu que A c'est un facteur qu'on en a posé, mais qu'on n'a pas déterminé, donc c'est là que nous sert la condition initiale. IL en 0+, hop, astuce, on l'évalue directement dans l'expression qu'on vient de poser, ça vaut donc A, et ça vaut E sur R d'après ce qu'on a déterminé précédemment. Donc A est égal à E sur R. Et ça y est, on a déterminé complètement IL, ça vaut E sur R exponentielle de moins R sur L fois T. Très bien. La troisième question, c'est de représenter IL en fonction du temps. Donc c'est parti, qu'est-ce qu'on peut poser sur mon graphique? Donc on a bien IL en fonction du temps, c'est une exponentielle décroissante. On a la valeur en 0, ça vaut E sur R, on la positionne, et lorsque T tend vers plus infini, l'exponentielle de moins infini ça vaut 0. Donc ça tend vers 0. Très bien, ça correspond en même temps avec l'étude de la décharge qu'on avait dans l'énoncé. Qu'est-ce qu'on peut positionner à part ça? Il y a toujours cet aspect intéressant de la dérivée initiale, ça nous donne une tangente pour savoir comment bien partir. On dérive par rapport au temps, ça nous fait sortir moins R sur L, et donc en 0+, la dérivée vaut moins E sur L, donc bien négative. Ça nous permet d'avoir un peu plus d'indices pour les tracer. Et puis on peut aussi introduire le célèbre temps caractéristique, TAU, qui nous dit à partir de combien de temps on a atteint 0,63% de la valeur finale. La transformation, donc ici, à 0,3% de l'évolution, on est bien à 0,37 fois la valeur initiale qui était ER. C'est une grandeur intéressante. Ensuite, quatrième question, sans trop spoiler, faire une étude énergétique dans ce circuit. Premièrement, on regarde le circuit, on essaie d'évaluer, puisque c'est là que se trouve aussi la belle physique, c'est d'essayer juste en regardant de cerner ce qui va se passer. On avait une tension qui alimentait une bobine, donc elle était pleinement chargée, E sur R. Et ensuite, on coupe, et bien cette bobine va se décharger, elle va perdre l'énergie, et puis il y a aussi une partie de cette énergie qui va être dissipée par effet Joule, comme toujours. Donc, on connaît, c'est une formule bien sûr à connaître par cœur, l'énergie stockée dans une bobine, c'est 1,5 de L I². Donc comment est-ce qu'on étudie la variation de cette énergie? C'est 1,5 de L I² à l'infini, moins I en 0+, au carré. Et donc c'est égal, ici en remplaçant, à moins L E² sur 2 R². On a déterminé la variation d'énergie de la bobine. Pour l'énergie dissipée par effet Joule, on connaît la formule, c'est l'intégrale de 0 à plus infini de la puissance dissipée par effet Joule fois dt. Et la puissance par effet Joule, c'est U de t fois U de t, là on est sur une résistance, donc c'est R fois I². On a direct l'expression de I, ce qui permet d'établir l'expression de P, la puissance dissipée par effet Joule. Et donc l'énergie dissipée par effet Joule, c'est l'intégrale de 0 à plus infini de E² sur R, exponentielle de, car E vient dans l'exponentielle, moins 2 R sur L T. Il faut savoir intégrer une exponentielle, et puis lorsqu'on a fini de calculer, on obtient l'énergie dissipée par effet Joule, c'est E²L sur 2R². Et là c'est très intéressant, vu qu'on remarque que c'est les mêmes expressions. Et c'est quelque chose qu'on aurait pu prévoir instinctivement. C'est-à-dire que la bobine s'est déchargée de son énergie, mais où est-ce qu'elle est passée cette énergie? Elle a été dissipée par effet Joule, ça va le courant, jusqu'à arriver à un point mort, un point nul. Et donc c'est un phénomène physique vraiment très intéressant qu'on a réussi à redémontrer grâce au calcul. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis maintenant je vous dis à bientôt!

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