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Physique-Chimie

Physique

Circuits linéaires du 1er ordre

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique comment déterminer l'équation différentielle liant la tension et le courant d'un circuit constitué de deux branches en parallèle, avec une bobine et une résistance en série dans chaque branche. Pour résoudre cette question, on peut utiliser les différentes relations entre la tension et les courants dans chaque branche, ainsi que la loi des nœuds en Ré. En manipulant ces équations avec des dérivées et des combinaisons, on peut exprimer I en fonction de U et obtenir l'équation différentielle recherchée. Malgré son caractère calculatoire, cet exercice montre l'importance de se concentrer sur les grandeurs que l'on cherche à démontrer et de manipuler les expressions pour les faire apparaître.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio et dans cette vidéo on va étudier un circuit associant des bobines et des résistances de manière un peu particulière. Donc on considère le montage représenté ci dessous, donc c'est un dipôle avec une tension U éparpillée par un courant I, constitué de deux branches en parallèle avec à chaque fois une bobine et une résistance en série. Là on a une seule question qui est très simple, déterminer l'équation différentielle liant la tension U et le courant I lorsque R1 L2 est liée à la R2 L1. Bon, en général quand on a une seule question ça sent pas très bon et que ça nous de faire toute la démarche, on ne peut pas se laisser porter par l'exercice, mais c'est pas grave. Donc une tension globale et un courant ça nous fait penser à des choses et c'est tant mieux. Alors tout d'abord on peut annoter les différents courants, on sait qu'on va en avoir besoin. Donc dans la première branche on peut déterminer la relation entre la tension globale et puis le courant I1. U de t c'est L1 dI1 dT plus R1 I1 de t. On peut faire la même chose dans la deuxième branche bien sûr et puis finalement établir une loi des nœuds en Ré, ça paraît un peu raisonner vu qu'on a introduit des courants particuliers mais qui sont reliés avec le courant. Donc I c'est I1 plus I2 et donc en particulier vu que là ça fait intervenir les dérivés, on se dit qu'on va avoir besoin de dérivés quelque part, donc on dérive cette relation ce qui nous donne dI2 t sur dT est égal à dI1 sur dT plus dI2 sur dT. A partir de là on va pouvoir faire des calculs spécifiques. Donc où est-ce qu'on veut en venir? Ici on se doute qu'on va devoir relier I en fonction de U mais on a donc deux courants différents donc si on veut se ramener à partir de cette équation là à celle là et bien il faut que le courant I1 soit multiplié par R1 et il faut que sa dérivée soit multipliée par R1. Voilà pourquoi on fait les différentes associations. Donc ça nous donne cette expression là, un terme un peu indésirable qui fait intervenir deux grand R différentes mais on sait qu'on va pouvoir utiliser à un moment l'expression qu'on nous donne. Donc on introduit et puis ici on a clairement U2t qui apparaît c'est pour ça qu'on a bien combiné l'expression et qu'on va pouvoir solutionner ce problème. Ensuite on peut faire la même chose, donc là on synthétise, ça c'est U2t, donc on obtient une troisième relation et cette troisième relation qu'est ce qu'on va faire? Et bien on fait la même chose mais de l'autre côté c'est à dire que on va multiplier par R2 et L2Uet donc on obtient en fait exactement la même chose que pour la 3 sauf que le rôle de 1 et de 2 est inversé donc on inverse tous les indices. Ensuite ces deux équations on va les combiner puisque là on a envie de faire apparaître le vecteur justement intéressant qui est R2L1 puisqu'on a dit qu'il était égal à R1L2 et de même là on a envie de faire apparaître R1. Donc on multiplie les bonnes expressions pour faire apparaître justement ce terme en commun. On obtient des équations vraiment désagréables mais sur lesquelles on va pouvoir travailler. Donc si on pose justement à ce terme en commun R2L1 qui est égal à R1L2, normalement on a fait le travail pour que ça simplifie un maximum. Donc on repère à chaque fois dans l'expression de départ on a R1L2 et R2L1 ici on a R2L1 RL2 là ce terme ne se simplifie pas mais c'est pas grave c'est devant U2T donc il n'y a pas de souci ici ça simplifie là et là etc. Donc en synthétisant tout ça on a R2 plus R1I2T plus L1 plus L2 d'I2T sur DT qui est égal à R2L2 plus R1L1 U2T plus A fois... ah bah tiens ça nous intéresse vu que justement en synthétisant cette information on retombe sur U2T donc A fois U2T plus A fois U2T. Donc très clairement si on synthétise on a A facteur de R2 plus R1I2T plus A facteur de L1 plus L2 d'I2T sur DT qui est égal à donc ce facteur R2L2 plus R1L1 plus on a ajouté deux fois A fois U2T. On avance c'est bien et donc on en déduit finalement l'équation différentielle qui relie I2T et U2T en divisant par A. C'est une expression voilà très très assez importante c'est un exercice très calculatoire mais pour montrer qu'on arrive à se ramener c'est à dire plus dans l'explication de la méthode ok on cherche à aller là et on part de là bon bah on fait toutes les combines pour assurer au maximum d'arriver dans un endroit qui me paraît intéressant pour manipuler les grandeurs que l'on veut et voilà c'est cette idée de faire apparaître ce que l'on cherche à démontrer. Merci d'avoir suivi cet exercice plutôt calculatoire, à bientôt!

Bobines et resistances

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