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Physique-Chimie

Physique

Introduction à la physique des ondes

Cette vidéo traite des modes propres associés à une onde stationnaire. Un mode propre correspond à une manière naturelle d'osciller pour un système physique, qui dépend des conditions dans lesquelles il se trouve. L'onde stationnaire étudiée est sur une corde et est décrite par la relation y(x,t) = y0 sin(ωt + φ) sin(kx + ψ), où y est la déformation verticale de la corde. Les conditions aux limites en x=0 et x=L permettent de quantifier la fréquence et le vecteur d'onde, qui correspondent au mode propre du système. L'expression du nème mode propre Yn de Xt en fonction de nLc Xt et de l'amplitude de ce mode propre Y0n est donnée. La quantification du vecteur d'onde est un concept important en physique qui se retrouve en mécanique quantique.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va étudier les modes propres associés à une onde stationnaire. Un mode propre, c'est une notion que j'avais du mal à assimiler quand j'étais en prépa. En fait, ça correspond à une manière d'osciller qui est naturelle pour un système physique, en fonction des conditions dans lesquelles on se place. Bon, ça va paraître plus clair au fur et à mesure des exercices. Ici on étudie une onde stationnaire sur une corde de la forme y de x de t est égale à y0 sinus de ωt plus φ sinus de kx plus ψ. Y de x de t représente la déformation verticale, pour la corde elle aussi de manière comme ça, y c'est ce qui quantifie son déplacement vertical. La relation de dispersion impose que ω est égale à ck. De plus, la corde est fixée à ces deux extrémités en x égale 0 et x égale L. Bon, la relation de dispersion c'est en fait quelque chose de très global qu'on va retrouver en électromagnétisme, et c'est la relation entre la pulsation et le vecteur d'onde. Très bien, montrer que la fréquence et le vecteur d'onde sont quantifiés, c'est à dire que la fréquence et le vecteur d'onde ne peuvent prendre que quelques valeurs possibles, et ça correspond justement au mode propre du système. Et bien en fait on va se servir des deux seules conditions qu'on impose, ce sont les conditions aux limites en x égale 0 et x égale L. Donc tout d'abord on peut regarder, en x égale 0, on évalue l'expression qu'on nous donne. y en 0 et t, c'est égal à y0 sin ωt plus ψ, on remplace dans l'expression, sin ψ, et c'est égal à 0. Et là ce qui est important de souligner c'est le pour-touté. Pour-touté, ça indique bien que le sin ici va varier et donc ne va pas tout le temps valoir 0. Ça implique donc que sin ψ est égal à 0, donc on peut choisir arbitrairement, on pose ψ est égal à 0. Et à partir de là, on réécrit l'expression. Donc avec ψ égale 0, ça nous donne y de x de t est égal à y0 sin ωt plus ψ, sin de kx. Puis en x égale L, pareil pour-touté, y en L et t, ça nous donne y0 sin ωt plus ψ sin kL, et c'est égal à 0. De la même manière, comme c'est le cas pour-touté, ça ne peut pas être ce facteur qui est nul, c'est bien sin kL qui vaut 0, et donc un sin qui vaut 0, c'est-à-dire que sa phase est congrue à π. Et donc kL de L est égal à n × π. C'est là qu'on fait intervenir la quantification du vecteur d'onde, L appartenant à Z. Donc voilà ce qu'on peut dire. Ensuite, on sépare, kL est donc égal à n × π sur L. Or k, c'est le vecteur d'onde 2π sur λ, donc c'est égal à 2πf sur c. Il faut connaître ces formules pour... En fait, dans tout le chapitre sur les ondes, on va ne faire qu'osciller entre la fréquence, le nombre d'ondes, le vecteur d'ondes, la longueur d'ondes. Bref, il faut être à l'aise avec la manipulation de toutes ces grandeurs. Bien connaître ces relations de dispersion et d'association. fn, c'est donc égal à n × c divisé par 2L, avec n en antirelatif. Donner l'expression du nème mode propre Yn de Xt en fonction de nLc Xt et de l'amplitude de ce mode propre Y0n. Donc voilà, on a déterminé tout ce qui était possible pour le nombre d'ondes et la fréquence. Et donc maintenant, on n'a plus qu'à exprimer un mode propre singulier. Donc Yn de Xt. On sait que son amplitude, c'est Y0n × sin2 2πf. Donc ici, si on remplace 2πfn, ça nous donne nπc sur L × t, plus πn. Voilà la phrase d'origine associée à ce mode propre. Sinus de kx, donc nπ sur L × x. Et voilà, on a exprimé le mode propre associé au nombre n. C'était une première approche de la forme des ondes stationnaires, et c'est vraiment très déterminant, la quantification du vecteur nombre, c'est quelque chose de très singulier en physique, qui va se retrouver d'ailleurs en mécanique quantique. Donc bien apprendre à écrire ces conditions aux limites, et à ce moment-là, on n'a plus qu'à remplacer leur expression pour trouver la forme générale. Merci beaucoup d'avoir suivi, et puis à bientôt!

Onde stationnaire et modes propres

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