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Complexes : vision géométrique

Le nombre complexe peut être associé à un point du plan, où l'on utilise la partie réelle et la partie imaginaire comme coordonnées. On peut également associer un vecteur à un nombre complexe, et inversement. Dans un exemple pratique, on utilise les affixes des points A, B, et C pour trouver le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. On utilise la propriété qui dit que AB est égal à DC si et seulement si les affixes respectives de ces deux vecteurs sont égales. Cette méthode est équivalente à l'utilisation de vecteurs.

Petit point de cours très très rapide pour juste faire le lien entre géométrie et nombre complexe. Un nombre complexe a un petit peu deux dimensions. La partie réelle et la partie imaginaire. Ce n'est pas absurde de se dire que je pourrais dire que un nombre complexe s'associe à un point du plan. Quel point? Vu que j'ai une partie réelle A et une partie imaginaire B, je pourrais dire un point de coordonnées A et B. Dès qu'on va considérer un point Z qu'on dessine dans le plan, on va dire qu'on a un axe imaginaire. C'est-à-dire là où on met sa partie imaginaire comme ordonnée et un axe partie réelle, c'est-à-dire l'axe des abscisses, pour le point. En terme de vocabulaire, quand on aura un point M qui est associé à un nombre complexe Z, on dira que Z est l'affixe du point M. Donc M a d'un côté des coordonnées A et B, si vous voulez, mais il a aussi une affixe A plus IB. De la même manière, on pourra dire qu'on peut associer le point O, si j'ai le point OM comme ça, on pourra associer OM, le vecteur. De la même manière qu'on associe un point au vecteur OM, on dit que M le point est de coordonnées AB, le vecteur OM est aussi de coordonnées AB, le point M et le vecteur OM vont être liés à l'affix Z A plus IB. On peut associer à tout nombre complexe Z un point du plan égal le vecteur OM. Et on peut aussi dire, dans l'autre sens, que si on a une certaine géométrie, on pourrait traiter le point comme un nombre complexe. On pourrait extraire d'un point, d'un plan, un nombre complexe et voir s'il n'y a pas moyen de jouer entre les deux pour aller plus vite dans certaines démonstrations. Deuxième propriété qui va être importante, que je vous présente tout à l'heure, enfin que je vous montrerai dans deux secondes, on avait, de manière très basique, quand on a des coordonnées pour les points B et A, je vous demande de me focus ici, on avait les coordonnées du vecteur AB qui étaient xB-xa, yB-ya. De la même manière, pour un vecteur AB du plan, on pourra lui associer un complexe Z, on va dire que Z associé au vecteur AB sera ZB-ZA. Les affixes respectives des points B et A. Il y a vraiment une similitude très forte avec les vecteurs, c'est vrai qu'il y a des règles comme ça, très pratiques. Ces règles sont très basiques et je voulais vous les illustrer avec un premier exemple pratique et appliqué, un genre de petit exercice de cours. On vous donne trois points ABC dans le plan complexe avec trois affixes respectives, A, B et C. On comprend qu'on pourrait associer ces trois points à trois complexes. Le point A, c'est donc coordonnées 2, 1, ici on voit ça. Le point B, c'est (-1, 1). Et le point C, c'est 0, 3, 0, 3. Déterminer le point D tel qu'ABCD sur un parallélogramme, ça nous rappelle tout de suite la règle du parallélogramme, tout bêtement. On va aller chercher ABCD parallélogramme si et seulement si AB y a le DC. Ça c'est de la seconde numérie, peut-être de la première. C'est très basique sur les vecteurs. Traduction en complexe, on utilise cette propriété et on dit, on a ici ZAB qui est calculable, le Z, l'affix associé au vecteur AB. C'est ZB-ZA, je prends les valeurs qu'il y a ici, je fais (-1, -)I, -2, -)I. Je ne me trompe pas dans les calculs et je trouve (-3, -)2I. Ensuite je vais prendre ZDC, je prends ZD, je le laisse inconnu, C je l'ai. Ça va valoir ZC-ZD, on ne se trompe pas, on inverse bien comme ici, ça fait 3I-ZD. Et on me dit, moi je veux AB égal DC les vecteurs, je peux utiliser l'équivalence vecteur affix de vecteurs et écrire, je vais résoudre ça comme ça. C'est un parallélogramme, si et seulement si AB égal DC, si et seulement si les affixes respectifs de ces deux vecteurs sont égales, je les ai calculés au-dessus, (-3, -)2I égal 3I-ZD. Magnifique, je trouve ZD égal 3, 5I. Donc je trouve un point D de coordonnées 3 et 5. Voilà, très basique, là vraiment c'est un exode d'intro dans le sujet, qui est un parallèle parfait, on pourrait même retorquer, écoute on a les vecteurs, pourquoi tu m'embêtes avec ce truc, je vois que c'est une autre manière de voir mais ça ne sert à rien. Ça servira à l'avenir, mais là en tout cas pour les trucs les plus basiques, c'est une méthode parfaitement équivalente à l'usage de vecteurs. Je vais vous l'introduire parce que c'est la manière la plus douce de l'introduire, parce qu'on comprend bien, on peut voir par rapport à ce qu'on connait déjà. N'hésitez pas à poser des questions si vous en avez en commentaire, et sinon je vous retrouve dans la prochaine vidéo. Bye bye.

Affixe, vecteurs et complexes

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