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Suites et Convergence

Une suite homographique est une suite qui vérifie une relation de récurrence de la forme un+1=(aun+b)/(cun+d) définie par récurrence. Si la suite a deux solutions, on pose une suite auxiliaire qui est géométrique. Si elle a une seule solution, on pose une suite auxiliaire qui est arithmétique. On peut trouver l'expression de ces suites auxiliaires et remonter à l'expression de la suite homographique. On illustre cela avec deux exemples de suites homographiques.

Salut à tous, on va faire un petit exercice sur les suites homographiques. Alors la suite homographique, a priori vous ne savez pas ce que c'est. C'est un type particulier de suite qui est défini par récurrence. Et donc comme d'habitude, ou très souvent sur les suites, on va essayer de résoudre et de trouver son expression explicite. C'est parti! Alors, c'est quoi une suite homographique? Une suite homographique, c'est simplement une suite qui vérifie une relation de récurrence, qui est celle-ci, de la forme un plus un égale a un plus b sur c un plus d. Alors on va voir qu'il y a deux cas de figure. Soit tout va partir de cette équation là, x égale ax plus b sur cx plus d. Si elle a deux solutions, on va poser une suite auxiliaire qui va être géométrique. Si elle a une solution, on va poser une autre suite auxiliaire, qui elle va être arithmétique. Grâce à ça, on va pouvoir trouver l'expression de ces suites auxiliaires et remonter à l'expression de GaN. Enfin, pour conclure, on va illustrer tout ça et voir trouver l'expression de suites qui sont définies avec ces deux exemples. C'est parti! Alors, évidemment x doit être différent de moins d sur c, puisque c'est une valeur interdite. Donc je résous, je résous, je résous, je tombe sur une équation de degré 2. Attention, on est dans les nombres complexes, donc il n'y a que deux cas de figure possible. Soit j'ai deux racines complexes, soit j'en ai qu'une. Donc voilà, en fait il n'y a que deux cas. Donc là, dans le A, on va être dans le premier cas, c'est-à-dire on va avoir deux solutions. Donc on suppose qu'il y a deux solutions, α et β, et je pose ma suite auxiliaire Vn égale Un moins α sur Un moins β. J'essaie de calculer Vn plus 1, et on va essayer de le voir sous la forme Q fois Vn. C'est ça le but du jeu, avec Q à identifier. Alors, bon, ça va être un peu calculatoire, mais on va quand même s'en sortir. Donc je calcule Vn plus 1, c'est Un plus 1 moins α sur Un plus 1 moins β. Et évidemment, je vais utiliser le fait que c'est là où il faut s'en servir, que α est solution de l'équation, donc c'est-à-dire que α égale α plus b sur c α plus d, idem pour β, c'est α plus b sur c β plus d. Et voilà, donc là j'ai une fraction de fraction, c'est très moche, je vais simplement juste mettre tout le monde au même dénominateur. Pour le numérateur, je factorise par 1 sur c α plus d, donc du coup il est obligé d'apparaître là. Pareil, je mets au même dénominateur ici c Un plus d, donc je dois le mettre ici. Enfin bon, ça c'est pas très compliqué, je mets juste tout le monde au même dénominateur. Je fais exactement la même chose en bas. Ce qui est pas mal, c'est que je supprime les c Un plus d. Donc au lieu d'avoir des fractions de fraction, je ne me retrouve qu'avec un seul étage de fraction. Et en fait, en développant tout, on se rend compte qu'il y a du bd moins bd à chaque fois qui se supprime. Et donc je remarque que je peux partout factoriser par ad moins bc en haut et en bas. Donc ça se simplifie encore une fois et je me retrouve avec du Un moins α sur Un moins β. Ça tombe bien, c Vn. Donc finalement, ici c'est q, donc j'ai bien Vn plus 1 qui est égal à q fois Vn. Donc j'ai bien la raison qui vaut c β plus d sur c α plus d. Maintenant, si l'équation E admet une seule solution α. Alors, de la même manière, α vérifie l'équation. Et d'autre part, ça on va y revenir juste après, cette expression va nous servir à la fin. C'est en utilisant le fait qu'elle est unique. Donc je vous redirai pourquoi on trouve cette expression là. Donc je pose Wn égale 1 sur Un moins α. Et je vais calculer Wn plus 1. Je vais essayer de la reconnaître sous la forme Wn plus quelque chose d'une constante. Donc c'est pareil, je remplace l'expression de Un dans le calcul. Pour α, je remplace l'expression également. Non, même pas en fait, pardon, je ne le remplace pas pour le moment. Je mets juste tout le monde au même dénominateur. Et j'essaie d'arranger un peu le tout au dénominateur. Je facturise tout ce que je peux par Un. Et là, ce qu'il apparaît c'est du B moins αd. Alors, moi je sais qu'il faut que je trouve Wn comme étant égal à Wn plus 1, pardon, comme Wn plus une constante. Donc n'oublions pas, α est solution de E. Ça veut dire quoi? Je développe l'expression. Et si j'isole de façon intelligente B à la fois mon D, je me rends compte que je peux changer l'expression. Ça vaut C α² moins α. Donc je factorise et ça fait α fois C α moins A. Alors, est-ce que c'est beaucoup mieux? A priori, on peut se dire que non. Mais là, ça m'intéresse beaucoup parce que ici aussi j'ai du A moins αC. Donc je vais pouvoir factoriser, ça va me simplifier grandement la vie. Donc je factorise en bas. En haut, qu'est-ce que je fais? En fait, j'utilise le fait que... Alors, c'est là où c'est un peu critique. Il faut que je veux faire apparaître du Un moins α comme au dénominateur. Pourquoi? Parce qu'en fait, si j'arrive à faire apparaître du Un moins α, ça va faire apparaître ma fameuse constante. Quand je simplifie ça, si je ne regarde que cette partie de l'équation, j'ai besoin d'avoir une constante. Il faut que ça fasse quelque chose. Il dépend de Un plus une constante. Donc pour sortir une constante de la fraction, il faut que je factorise artificiellement par Un moins α. C'est ce que je fais ici. Mais en fait, je fais une bête égalité. Ici, je fais apparaître du moins αC. Je vais plus αC ici pour compenser. Et voilà, j'ai fait apparaître mon Un moins α. Je sépare les fractions, comme j'ai dit. Là, j'ai bien ma constante quand je simplifie l'Un moins α. Et ensuite, je me rends compte que j'ai plus quelque chose, fois Un sur Un moins α. Ça m'embête, ce quelque chose, parce que moi, je veux une suite arithmétique. Donc j'espère que je croise les doigts très fort pour que ça fasse Un. Il faut que ce soit égal à Un pour que l'énoncé marche. Donc là, il faut s'intéresser à cette expression. Qu'est-ce qu'on a loupé? On a loupé qu'α est solution unique, et pas solution double. On n'a pas encore utilisé ça. Là, je vous fais un petit rappel que vous devez connaître. Quand j'ai une équation du type... J'ai utilisé des primes pour ne pas que l'on se perde. Mais de la forme A'x² plus B'x plus C'. Si j'ai une solution unique, cette solution vaut moins B' sur 2A'. Là, c'est exactement ce que je fais. Sauf que les B' et les 2A', j'identifie ce que c'est. Le B' c'est A moins D, et le A' c'est C. Donc finalement j'ai α qui vaut A moins D sur 2C. En quoi ça m'est utile? Je vais retravailler sur cette fameuse expression dont j'espère qu'elle est égale à 1. Et je vais remplacer α par cette valeur. Là, je vous laisse faire les calculs, mais je développe, je développe, je développe. Il se trouve que ça me fait 1 demi de A plus D sur 1 demi de A plus D. Ce qui fait 1. Parfait. C'est bien ce que je voulais. J'ai bien ma suite Vn plus 1 qui est égale à Vn plus une constante. Ce qui vaut C sur A moins αC. D'ailleurs, je peux donner l'expression en réutilisant ça. Et en fonction de C et D. Et donc voilà l'expression de ma suite arithmétique. J'ai bien une suite arithmétique, je suis content. Maintenant les exemples. On va illustrer. Tout simplement, je vais appliquer bêtement ce que j'ai vu juste avant. Je résous l'équation. Je tombe sur l'équation du degré 2. Je trouve deux solutions, α et β. J'applique tout bêtement ce qu'on a fait. Je sais que Vn égale Un moins 1 sur Un moins 0 est géométrique. Je connais sa raison aussi. Je remplace sa raison. Et ça me fait 3 quand je fais le calcul. Je sais que Vn est géométrique de raison 3. C'est à dire que Vn vaut 3 puissance N fois V0. V0, je calcule en fonction de I0. Là, on va être coincé un moment dans l'exercice. Parce qu'on ne nous donne pas U0. Mais j'ai bien l'expression de Vn. Une fois que j'ai Vn, j'ai plus qu'à remplacer Vn par son expression en fonction de Un. Et résoudre. Vn c'est Un moins 1 sur Un. J'isole Un, etc. Je tombe sur une expression pas hyper jolie. Mais une expression explicite en fonction de Vn. Deuxième exemple. Quand on résout la deuxième équation caractéristique, on trouve sur X égale 2, solution unique. D'après ce qu'on a vu la dernière fois. Je pose, pareil, j'applique bêtement. Je sais que Wn égale 1 sur 1 moins 2 est arithmétique de raison. Je fais le calcul. Ça fait 1,5. Je t'ai donné l'expression de Wn. Wn vaut W0 plus N sur 2. Je remplace Wn par son expression en fonction de Un. Je remplace W0 par son expression en fonction de U0. Et idem, je résous. Je passe le 2 de l'autre côté. Et je me retrouve avec Un égale cette expression-là. Encore une fois, c'est pas très joli. Mais j'ai une expression explicite. Et si j'ai U0, je peux simplifier facilement. Voilà pour les suites homographiques. Exercices un peu calculatoires, mais classiques et qu'il faut savoir faire. Voilà.

Suite homographique

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