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Suites : applications avancées

Le nombre d'or est une valeur mathématique importante. Dans cette vidéo, nous abordons une suite particulière définie avec des radicaux, et nous cherchons à déterminer son comportement. Pour cela, nous montrons que la solution positive de l'équation x²-x-1, appelée phi, est comprise entre 1 et 2. Ensuite, nous exprimons la suite en fonction de phi. Nous montrons que la suite est croissante et qu'elle converge vers phi. Nous démontrons également que la convergence est très rapide, en utilisant une inégalité géométrique. Cette méthode permet de déterminer la vitesse de convergence vers une limite en mathématiques.

Salut à tous, on va faire une méthode un peu sympathique cette fois, sur laquelle on va aborder le sujet du nombre d'or, donc un nombre qui est très connu en maths. Or là, ce type de suite, c'est vraiment un type de suite particulier qui est défini de façon explicite, mais dont on a en fait des trois petits points. Là dans ce cas là, ça va être racine de racine de racine, donc vous allez voir que c'est un peu particulier. Et en plus, voilà, petite cerise sur le gâteau, on va parler du nombre d'or. Allez c'est parti! Alors petite analyse rapide, comme d'habitude sur les méthodes un peu plus complexes. Donc on nous dit que le nombre d'or, c'est la solution positive de cette équation, et qu'on va appeler phi, et que phi vérifie cette égalité là. Donc d'abord, on va devoir justifier sans calculatrice que phi est compris entre 1 et 2. Là vraiment, ça nous fait penser au Tévi, donc on va voir. Et ensuite, la fameuse suite définie de façon explicite, mais avec des trois petits points, avec n radicaux. Et donc on va essayer de trouver le comportement de cette suite. Donc d'abord, on va montrer qu'elle est croissante. Bon bah ça, vous savez faire, on va faire l'étude de un plus ou moins un. On va démontrer que un converge vers phi. Donc on va essayer de trouver un point fixe, puisque en fait u1 plus 1 est de la forme f de un, ce qu'on va voir tout à l'heure, où f de un c'est racine de 1 plus un. Donc on va trouver un point fixe, et on sait que si elle converge, elle converge vers un point fixe. Et ensuite, toutes les questions 5 et 6, ça va nous indiquer, ce qui est assez important en maths, la vitesse de convergence. Est-ce que ça converge vite vers ce nombre phi, ou pas du tout? A quelle vitesse? Et là vraisemblablement, on voit que ça converge très très vite, puisque c'est plus petit que la différence entre les deux, entre 1 sur 2 puissance n-1, donc ça converge extrêmement vite. Donc c'est parti, dans l'ordre. Alors, si on reprend les questions, on nous demande, on va étudier l'équation x²-x-1. Donc là on cherche des racines de cette équation. Assez rapidement, je fais f de 1 égale moins 1, f de 2 égale 2. C'est bien une fonction continue, car c'est un polynôme, donc j'ai bien une racine comprise entre 1 et 2. Pas de problème. Comme on dit, l'énoncé nous dit que phi est la racine positive de l'équation, ça sert à rien d'en chercher une autre, je sais que c'est la seule, a priori, donc phi appartient bien à 1,2. Ensuite, on nous demande d'exprimer pour toute un supérieur ou égale à 1, un plus 1 en fonction de un. En fait, vu l'énoncé, on se rend compte que un plus 1, ça vaut racine de 1 plus un. Et donc à partir de là, on aimerait montrer que un est compris entre 1 et phi. Donc là, tout ça, évidemment, ça va être par récurrence. Donc u0 ça vaut 1, donc évidemment ça marche, sachant que phi est compris entre 1 et 2. Et ensuite, l'hérédité, comme d'habitude, j'écris ce que je sais, ce que je veux montrer, et le lien entre l'un et l'autre, évidemment c'est la relation de récurrence avec un plus 1 égale racine de 1 plus un. Tout ça, ça va être lié à la fonction racine. Donc je pars du premier encadrement, j'essaye de trouver racine de un plus un. En réalité, si je rajoute 1 à chaque fois... d'ailleurs j'ai fait une petite erreur, j'ai mis directement la racine alors qu'elle n'y est pas. On va l'enlever. Donc racine de... j'ai 2 qui est plus petit que un plus un, qui est plus petit que phi plus un. Ensuite, je passe à la racine, donc son croissante sur R+. Et évidemment, tout l'intérêt, c'est que je sais que... la racine de phi plus un égale phi. Donc en fait, je me retrouve avec l'encadrement 1 plus petit que un plus un, plus petit que phi. Donc j'ai bien démontré par récurrence, ça fonctionne, pas de problème. Ensuite, on nous demande de montrer que la suite est croissante. Pour ça, je vais faire la différence, un plus un moins un. Ça fait racine de un plus un moins un. Alors plutôt que de comparer les racines, ça m'embête un peu, on va plutôt comparer les carrés. Est-ce que j'ai envie de comparer ça au carré et ça au carré? Un plus un carré, ça fait un plus un. Et donc, si je fais un plus un carré moins un, on se retrouve avec un plus un moins un carré. Et on se rend compte que c'est f de un moins f de un. Or, on sait que un est plus petit que un, un est compris entre un et phi. Donc je compose par f et je sais que comme ma fonction est croissante, j'ai f de un qui est plus petit que f de un, qui est plus petit que f de phi, égal à zéro. Avec f, évidemment, elle n'est pas posée, c'est sa f1 bien sûr. J'appelle ça f de x, cette fonction là. On pourrait faire l'étude rapide, on montre qu'elle est croissante, on a trouvé sa racine et le minimum, on pourrait faire l'étude. Donc f est croissante et je me retrouve avec f de un qui est compris entre moins un et zéro. Ça veut dire quoi? Ça veut dire que f de un est négatif, c'est ça qui est important pour moi. Et donc j'en ai du quoi? Comme c'est négatif, j'ai un plus un au carré moins un au carré, qui est super à zéro. Attention, j'avais un moins ici. Donc j'ai bien un plus un au carré qui est plus grand que un carré, donc un plus un plus grand que un, et j'ai bien f un qui est croissante. Évidemment, on utilise le fait qu'elle est positive, c'est évident, vu son expression, pour passer de là à là. Ensuite, j'ai une fonction qui est croissante et qui est majorée, donc je sais qu'elle va forcément converger vers une limite L. Elle est majorée par phi, bien sûr, et donc je sais qu'elle va converger vers une limite L qui en l'occurrence va être phi, mais ça je ne sais pas encore. Et là, je passe à la limite. Donc si u n plus 1 est la racine de 1 plus u n, c'est à dire que L est solution, u n plus 1 aussi tend vers L, donc c'est à dire que L est solution de L égale racine de 1 plus L. Je passe au carré et là, évidemment, je me retrouve avec l'équation de tout à l'heure. Donc j'en déduis que nécessairement L égale à phi. Donc c'est ce qu'on appelle évidemment le fameux point fixe. L égale g de L où g est la fonction pour passer de u n à u n plus 1. Donc là, on a notre point fixe. Si elle converge, la suite elle converge forcément vers ce point fixe. Ok, maintenant on va s'intéresser à est-ce que ça converge vite ou pas. Pour ça, on nous demande de trouver un petit encadrement. On va encadrer u n plus 1 moins phi. C'est là où j'utilise que phi est égal à racine de 1 plus phi. u n plus 1, je le remplace par une expression. Et là, j'ai une différence de deux racines. Évidemment, j'ai envie de faire la quantité conjuguée. Donc je fais la quantité conjuguée. Ça tombe bien, ça se simplifie un peu. Je me retrouve avec u n moins phi sur racine de 1 plus u n plus racine de 1 plus phi. Alors moi, j'aimerais montrer, là j'ai bien mon u n moins phi là-haut. Je suis content. Moi, ce que j'aimerais montrer maintenant, c'est que ça, c'est supérieur à 2. Pour que je puisse conclure cette inégalité-là. Alors racine de 1 plus u n, évidemment c'est plus grand que 1, puisque u n est positif. Racine de 1 plus phi, c'est égal à 1. Et on a démontré que c'était supérieur à 1. Donc la somme des deux, forcément, c'est supérieur à 1 plus 1 qui vaut 2. Je passe aux valeurs absolues et je démontre bien l'inégalité voulue. Donc là, on voit bien, on a une inégalité géométrique. On voit la vitesse de convergence très rapide. Et donc là, simplement pour conclure, je vais faire par récurrence. Pour l'initialisation, évidemment ça marche. J'ai bien u n moins phi qui est inférieur à 1. Et ensuite, la récurrence en fait, elle est immédiate, l'hérédité. Je suppose que cette inégalité est vraie. J'utilise la relation qu'on a montrée juste au-dessus. Et en fait, du coup, u n plus 1 moins phi, ça va être plus petit que 1 demi de u n moins phi, et donc plus petit que 1 sur 2 puissance n. Donc on a bien montré la vitesse de convergence. Et on voit que ça converge extrêmement vite. Donc par exemple, si je m'arrête au dixième terme, 2 puissance 10, c'est un peu plus de 1000, c'est 1024. Donc ça fait un millième. 2 puissance 20, ça sera plus de 1 million. Donc au bout de 20 termes, on est à un millième près de phi. Donc c'est une vitesse extrêmement rapide. Ça, surtout quand vous allez faire ensuite plus tard les comparaisons, les équivalents, c'est une question qu'on va souvent se poser. Est-ce que ça converge vers la limite vite ou pas? Et en fait, on va s'intéresser à ça converge vers ce truc-là à quelle vitesse. Est-ce que ça converge en 1 sur n, en 1 sur n carrés? Là, on a vu, c'est du coup 1 sur 2 puissance n, donc ça converge très très vite. Donc vous allez voir ça de plus en plus souvent. Voilà pour cette méthode!

Nombre d'or

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