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Suites : Sujets d'écrits

Le cours traite de la convergence d'une suite produit associée à une suite à terme strictement positif. La première partie consiste à démontrer une égalité classique en utilisant une étude de fonction pour montrer que ln de 1 plus x est plus petit que x. La deuxième partie montre que si la suite Tn converge alors la suite produit converge également, et vice versa par contraposition. La dernière partie étudie le comportement de Tn pour la série harmonique en utilisant l'encadrement comparaison série intégrale pour déterminer un équivalent de Tn qui tend vers ln de n. Ce concept de suite produit est rarement utilisé en SEO-friendly.

Troisième et dernière partie de la vidéo, on va maintenant s'intéresser à un autre critère pour la convergence de la suite produit. Cette fois on va considérer une suite Vn à terme strictement positif et la suite produit associée à 1 plus Vn. La suite Tn va être la somme des termes constitutifs des Vk, qui est la partie ici sans le 1. D'abord, montrer qu'il y a une égalité très classique qu'il faut savoir connaître et démontrer. On fait une simple étude de fonction, je le fais très rapidement. On pose f de x égale ln de 1 plus x moins x, je calcule la dérivée, je vois que la dérivée vaut moins x plus 1 plus x, donc c'est strictement négatif. Donc f est strictement décroissante sur R, or f de 0 vaut 0, donc j'en déduis que pour tout x appartenant à R+, ln de 1 plus x est plus petit que x. Pas de problème évidemment. Ensuite, on veut montrer que si Tn converge, alors la suite produit converge également. Supposons que Tn converge vers un réel L. Tn, ce qu'il faut bien comprendre, c'est que c'est une somme de termes positifs, donc par construction elle est croissante, Vn est positive, et si elle est convergente, elle est donc majorée par sa limite, c'est une suite croissante. On s'intéresse à Sn, qui est un peu comme la même que la dernière fois, qui est la somme de k égale 1 à n, d ln de 1 plus Vk. D'après la question précédente, comme je peux en garder ln de 1 plus x qui est plus petit que x, par somme sur chacun des termes, j'ai Sn qui est plus petit que Tn, qui lui est majoré toujours par sa limite L. Donc finalement, j'ai réussi à majorer Sn, or Sn aussi est croissante parce que Vk est positif, donc ln de 1 plus Vk est supérieur à 1, donc ln de 1 plus Vk est positif, donc Sn c'est une somme de termes positifs, donc comme on rajoute un terme à chaque fois qu'il est positif, elle est croissante, et donc j'ai une suite qui est croissante majorée, et qui donc converge. Ensuite, je vois que Sn c'est ln de Pn, avec les notations précédentes, donc si j'ai Sn qui converge vers une limite, j'ai forcément Pn qui converge aussi. Maintenant, on va montrer la réciproque dans l'autre sens. On va plutôt raisonner par contraposition, on suppose que Tn est divergente, comme Tn est croissante, une suite croissante qui diverge, elle diverge forcément vers plus infini. Pn, c'est le produit de 1 plus Vk, et c'est là où c'est assez subtil, c'est plus grand que la somme de Vk. Pourquoi? Parce que le produit de 1 plus Vk, qu'est-ce qui se passe? Ce qui se décrit ici c'est 1 plus V1, fois 1 plus V2, plus 1 plus V3, etc. Et en fait, dans mon développement, je vois bien que si je fais V1 fois 1 fois 1 fois 1, ça fait V1. Ensuite, dans un autre développement, je vais avoir 1 fois V2 fois 1 fois 1 fois 1, ça fait V2. J'ai bien la somme des Vk qui apparaît, plus plein plein plein d'autres termes croisés sont positifs, tout est positif là-dedans. Donc forcément, c'est bien supérieur à la somme des Vk qui vaut Tn. Donc, comme Tn diverge, Pn est plus grande d'une suite qui diverge, elle diverge aussi. Donc par contraposition, j'ai Pn converge implique Tn converge. Donc effectivement, j'ai un nouveau critère de convergence. Maintenant, on va s'intéresser à la suite, à la série harmonique qui est très connue. Donc, on va étudier le second critère de convergence. Je considère le produit des 1 plus 1 sur k. Il se trouve que je peux simplifier, ça fait k plus 1 sur k et ça se télescope. Il ne me reste que n plus 1. On l'a déjà vu dans pas mal des méthodes, ça va me faire n plus 1 sur n, ou n sur n moins 1, n moins 1 sur n moins 2. J'ai écrit n'importe quoi là, mais bon, tout ça, ça se supprime. Il ne reste que n plus 1 sur 1, donc ça tend bien vers plus infini. Donc en fait, tout simplement, d'après la question précédente, j'ai mon produit qui converge, donc je sais que Tn converge. Diverge, j'ai dit converge, mais c'est diverge, donc Tn diverge. Parfait. Maintenant, ce qu'on veut savoir, c'est, alors vous ne l'avez pas vu tout à fait, mais je me permets de déborder, c'est de trouver un équivalent de Tn. C'est-à-dire, ok, ça tend vers l'infini, mais à quelle vitesse? Ça tend très vite, comme n, comme n², comme n³, comme eⁿ. Voilà, donc en fait, on va faire un encadrement. L'encadrement, c'est d'utiliser ce qu'on appelle l'encadrement comparaison série intégrale, où tout T appartenant à K, K plus 1. En fait, comme la fonction 1 sur X est décroissante, j'ai 1 sur K plus 1, qui est plus petit que 1 sur T, plus petit que 1 sur K. Et ensuite, j'intègre sur l'intervalle K, K plus 1. Donc ça, c'est une constante, j'intègre sur un intervalle de longueur 1, donc c'est une erreur d'un rectangle, en fait, donc c'est 1 sur K plus 1, fois 1, donc c'est 1 sur K plus 1, pareil pour lui, et là, cette intégrale-là, je la laisse telle qu'elle est, et ensuite je fais la somme. Je somme pour K allant de 1 à n, vu que c'est vrai pour chaque K. Et donc, je me retrouve avec la somme de K égal à n des 1 sur K plus 1, qui est inférieure à la somme de l'intégrale de 1 à n plus 1 de 1 sur T, qui vaut ln de n plus 1, et qui est inférieure à Tn. Donc là, il y a deux inégalités distinctes, on va travailler avec les deux distinctement. Donc l'inégalité 2, je l'ai dit, c'est celle de droite, elle me dit que ln de n plus 1 est plus petit que Tn. Donc ça, il n'y a rien à faire. La première, il va y avoir un petit problème, parce qu'en fait, comme ma somme commence à 1, et que c'est 1 sur K plus 1, je vais avoir 1 demi comme premier terme, et pas 1, mais on va voir que ce n'est pas grave, je vais la rajouter et l'enlever. Donc la somme de 1 à n des 1 sur K plus 1, finalement c'est comme la somme de K égale à n des 1 sur K, sauf qu'il me manque le premier terme, donc moins 1, plus ce dernier qui rentre haut, 1 sur n plus 1. Et donc, en fait, je peux écrire que c'est Tn moins 1 sur 1 sur n plus 1. Donc je l'écris, là, c'est l'inégalité 1, cette fois, et j'isole Tn, tout simplement, et donc je me retrouve avec Tn qui est plus petit que ln de n plus 1 plus 1 moins 1 sur n, que je peux simplifier en n sur n plus 1. Et donc voilà, j'ai ces trois encadrements-là, et c'est là où vous manquez encore un peu de bagage, mais je vais vous le donner, c'est que Tn se comporte un peu comme ln de n. Pourquoi? Parce que là j'ai ln de n plus 1 qui est comme du ln, là aussi, et là j'ai un terme qui tend vers 1, mais qui va être négligeable par rapport à ce terme-là qui tend vers l'infini. Donc c'est quoi le concept d'équivalent? Si j'ai deux suites qui sont équivalentes, ça veut dire que le rapport des deux tend vers 1. Donc là je vais montrer que Tn est équivalent à ln de n, et donc je vais faire le quotient, je vais diviser tout ça par ln de n. Donc ln de n plus 1 sur ln de n, déjà on va montrer que ça tend vers 1, donc là la technique, si on factorise par le terme prédominant, ça me fait ln de n plus ln de 1 plus 1 sur n, au dénominateur ici, donc j'isole, je sépare avec le dénominateur, ça fait 1 plus ln de 1 plus 1 sur n sur n, donc évidemment ça tend doublement vers 0 ce truc-là, parce que ça, ça tend vers 0, et n tend vers plus infini. Donc pas de problème, ça tend vers 1. Ensuite, ce qui reste là, une fois qu'on est convaincu pour ln de n plus 1, et ensuite n sur n plus 1 divisé par ln de n, ça évidemment ça pose pas de problème, puisque ce terme-là tend vers 1, et 1 sur ln de n, ça tend vers 0. Donc voilà, le tout tend vers 1. Par encadrement de E, j'ai repris ce terme-là, j'ai divisé par ln de n, et donc le terme à gauche, on a dit que quand je divise par ln de n, ça tend vers 1, le terme à droite, ça tend vers 1 aussi, donc par encadrement j'ai Tn sur ln de n, qui tend vers 1, et donc je peux dire que Tn de n est équivalent à ln de n. Voilà pour cet exercice sur la suite produit, en trois parties. C'est un peu un concept qu'on n'utilise pas très souvent, parce qu'on utilise plutôt les sommes sur les suites, mais vous voyez qu'on peut passer de la somme au produit à travers des suites auxiliaires un peu astucieuses. Voilà pour la suite produit. C'est fini.

Limite d'un produit (partie 3)

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