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Suites : Sujets d'écrits

Ce cours porte sur la suite de Fibonacci, qui fait partie de l'ensemble des suites définies par récurrence appelé "Omega". On montre que Omega est stable par combinaison linéaire, ce qui signifie que si u et v sont des suites dans Omega, alors lambda u + mu v est également dans Omega. On trouve ensuite les deux réels phi et psi, tels que phi > psi, qui vérifient la relation de récurrence de Omega. On montre que la suite de Fibonacci est de la forme a phi^n + b psi^n, puis on détermine les valeurs de a et b. Enfin, on trouve un équivalent simple de la suite de Fibonacci en montrant qu'elle se comporte comme 1/ sqrt(5) psi^n pour n grand.

Bonjour à tous, dernière méthode sur la préparation des écrits, cette fois ce sera sur la suite Fibonacci, dont vous avez sûrement déjà entendu parler. Donc là, un petit exercice sympathique sur les suites définies par récurrence, en utilisant Fibonacci. C'est parti! Alors, on considère les suites qui vérifient une certaine relation de récurrence, un plus deux égale un plus un plus un, et ça on appelle ça omega, l'ensemble des suites qui vérifient ça. La suite de Fibonacci, c'est un élément particulier d'omega qui vérifie f de 0 égale 0, f de 1 égale 1, et qui vérifie donc cette relation de récurrence. Donc cette méthode va être coupée en deux, là on va vraiment s'intéresser à cette partie là, et ensuite on va s'intéresser à la partie E, A, etc. donc j'en parlerai plus tard parce que ça ne va pas servir ici. Alors déjà, première question, on a lambda mu appartenant à R, on veut montrer que omega est stable, en fait, par combinaison linéaire, c'est à dire que si j'ai u, v, 2, suite d'omega, alors lambda u plus mu v appartient aussi à omega. Alors déjà, il faut faire hyper attention aux objets, u et v c'est bien des suites ici, donc j'enfonce peut-être des portes ouvertes, mais donc u et v c'est omega, c'est à dire qu'elle vérifie une relation de récurrence, c'est un et vn en fait, j'ai un plus deux qui vaut un plus un plus un, vn plus deux qui vaut vn plus un plus vn. Donc je considère une suite w qui est égale à lambda u plus mu v, où lambda et mu ce sont des réels quelconques, et je fais le calcul wn plus deux, c'est donc lambda un plus mu vn plus deux, j'utilise le fait que un appartient à omega et vn aussi, donc il vérifie la relation de récurrence, je réordonne tout ça et on voit bien que ça fait wn plus un plus wn, donc il n'y a pas de problème, c'est bien stable par combinaison linéaire. Ensuite on veut trouver les deux réels phi et phi, en fait non les deux c'est des phi, c'est un phi majuscule et phi minuscule, où grand phi est plus grand que petit phi, tel que phi la puissance n et phi la puissance n appartiennent à omega. Donc déjà ça veut dire quoi si x puissance n appartient à omega? Ça veut dire qu'il vérifie la relation de récurrence, sauf qu'ici wn plus deux ça vaut x à la puissance n plus deux, donc j'ai x à la puissance n plus deux qui doit être égal à x puissance n plus un plus x puissance n, donc soit ça veut dire que x égale zéro, ce qui ne nous intéresse pas, soit je peux factoriser par x puissance n et je me retrouve avec x au carré égal x plus un. C'est une équation de degré 2 que je sais facilement résoudre, j'ai deux solutions, un plus racine de 5 sur 2 et un moins racine de 5 sur 2. Comme on veut phi majuscule plus grand que phi, du coup tout simplement le phi c'est ici et l'autre phi c'est là. J'ai bien mes deux solutions qui sont distinctes de zéro et donc là elles appartiennent bien à omega de suite, phi puissance n. Ensuite on veut montrer que fn s'écrit de la forme a yn plus b yn aussi et déterminer c rl. Donc là on va faire ce qu'on appelle une analyse synthèse, c'est bien de le voir. On dit supposons que ça s'écrive comme ça. Si c'est écrit comme ça, du coup c'est les deux mêmes suites, donc forcément il faut qu'elles matchent en zéro et en un. Donc f de zéro on a dit que ça valait zéro par hypothèse, f de un ça vaut un et je remplace pour n égal zéro, n égal un, ça fait a plus b et là a phi plus psi. Je vais l'appeler psi parce que j'en ai marre d'appeler les mêmes lettres. Donc on va dire phi et psi. Donc ça me donne a égale moins b, je remplace, je substitue dans la deuxième ligne et je me retrouve avec b qui égale à psi moins phi, 1 sur b qui vaut psi moins phi. Donc tout simplement je fais le calcul de combien ça fait, ça fait 1 sur racine de 5 et j'ai a égal 1 sur racine de 5 et b égal 1 moins racine de 5. Là c'est pas fini en fait, j'ai montré que si c'est sous cette forme alors forcément a égale au ça, b égale au ça, mais en fait j'ai pas prouvé que c'est de cette forme. Pour pouvoir conclure, en fait qu'est ce que je sais? Je sais que d'après la question précédente 1 sur racine de 5 phi de n moins 1 sur racine de 5 psi de n appartient à oméga, toujours par cette stabilité par combinaison linéaire. Donc je sais que cette suite là vérifie aussi la relation de récurrence des suites d'oméga et donc la même relation de récurrence que fn. Donc si je résume la suite ici et fn, elles ont les mêmes deux premiers termes, elles vérifient la même relation de récurrence et donc c'est la même suite, c'est exactement la même. Donc finalement là je peux conclure que fn égale à 1 sur racine de 5 phi n moins 1 sur racine de 5 psi de n. Ensuite on veut trouver un équivalent simple de fn. Alors là encore une fois on déborde sur ce que vous n'avez pas vu. Un équivalent fn, si une suite est équivalente à une autre, ça veut dire que le rapport des deux tend vers 1 plus infini. Là qu'est ce que je vois? Je sais qu'il y en a un qui est plus petit que 1 et l'autre qui est plus grand que 1. Donc quand je vais mettre à la puissance n, il y en a un qui va tendre vers 0, l'autre vers plus infini. Celui qui va tendre vers 0 va être négligeable par rapport à l'autre en fait. Donc si je pose un égale 1 sur racine de 5 psi de n et je fais le rapport, qu'est ce qui se passe? fn sur u de n fait 1 moins psi de n sur phi de n, 0 plus infini, ça tend bien vers 0 donc finalement ça tend vers 1. Et donc finalement fn se comporte quand n devient grand comme 1 sur racine de 5 psi de n. L'autre terme va être très vite négligeable, c'est une suite géométrique de raison inférieure à 1, elle va très vite tendre vers 0. Et donc si je fais le quotient de fn plus 1 sur fn, c'est équivalent au quotient de un plus 1 sur un qui vaut phi. Donc finalement j'ai fn plus 1 sur fn qui va tendre vers phi. Donc là on déborde un petit peu mais c'est parce que je trouve que c'est une question intéressante. Comme ça on trouve la limite de fn plus 1 sur fn. C'est parti pour la partie 2 qui vous allez voir est assez abstraite et pas évidente mais très intéressante. Allez tout de suite sur la prochaine vidéo!

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