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Fonctions (0) : Dérivation, classe C1

Dans cette vidéo, l'importance de maîtriser trois inégalités classiques est soulignée. La première inégalité concerne sin x qui est inférieur ou égal à x pour x supérieure ou égale à 0. Pour la démontrer, il suffit de poser la fonction qui a x associé sin x moins x et de montrer qu'elle est décroissante pour toute x dans R+. La seconde inégalité concerne exponentielle de x qui est supérieure ou égale à 1 plus x pour toute x dans R+. Cette inégalité est démontrée en utilisant le caractère convexe de la fonction exponentielle sur R. Enfin, la troisième inégalité concerne ln de 1 plus x qui est inférieur ou égal à x pour toute x dans moins 1 plus l'infini. Cette inégalité peut être démontrée en utilisant le caractère concave de la fonction ln de 1 plus x sur moins 1 plus l'infini.

Salut à tous et bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice vraiment classique et vraiment important à maîtriser pour tout élève de prépa. Vous allez me dire qu'Aurentin, tu nous dis à chaque fois la même chose, ces exercices sont toujours classiques et importants à maîtriser. Je sais. Mais là, je ne rigole pas. Il est vraiment, vraiment, vraiment important à connaître. Alors, cet exercice, quel est-il? Il nous demande de démontrer les inégalités classiques suivantes. J'insiste sur classiques, parce que ces inégalités, vous allez vous en servir tout au long de votre prépa, voire de votre vie. Et je n'exagère pas. La première, ça va être de montrer que pour toute x supérieure ou égale à 0, sin x est inférieur ou égal à x. La seconde, ça va être de montrer que pour toute x appartenant à R, exponentielle de x est supérieure ou égale à 1 plus x. Et la dernière, de montrer que pour toute x dans moins 1 plus l'infini, ln de 1 plus x est inférieur ou égal à x. Commençons tout de suite. Pour montrer que sin x est inférieur ou égal à x, ce que je fais, c'est que je pose la fonction qui a x associé sin x moins x. Et là, vous vous en doutez, mon but, ça va être de montrer que cette fonction est positive ou négative et en détectant l'inégalité en fonction. Ce que je fais, c'est que j'étudie ces variations. Pour toute x dans R+, j'ai f' de x qui vaut moins cos x moins 1. Et ça, c'est inférieur ou égal à 0 pour toute x dans R+. Donc f est décroissante. Elle atteint donc son maximum sur R+, en 0. Or, en 0, elle vaut sin 0 moins 0. Et ça, ça vaut 0. On en déduit que pour toute x dans R+, sin x moins x est inférieur ou égal à 0. Et que donc, pour toute x dans R+, sin x est inférieur ou égal à x. Vous savez, ce n'est pas si compliqué que ça à démontrer, mais ce sont vraiment des inégalités qui doivent vous venir en tête lorsque vous rencontrez des fonctions de ce type. Passons à l'inégalité suivante, qui est de montrer que pour toute x dans R+, exp de x est supérieur ou égal à 1 plus x. La fonction exponentielle est convexe sur R. Par définition, sa courbe se situe donc au-dessus de cette tangente. Et oui, elle a cette tête-là. Donc peu importe la tangente que je dessine, je dessine très mal, mais hop, elle va se situer au-dessus de cette tangente. En particulier, elle est au-dessus de sa tangente en 0, qui est celle-ci. Sauf que sa tangente en 0, c'est exprime de 0 fois x moins 0 plus exp de 0. Et ça, qu'est-ce que c'est? Ça vaut x plus 1. On en déduit donc que pour toute x dans R+, exp de x est supérieur ou égal à x plus 1. Ici aussi, pour ln de 1 plus x, c'est un argument de convexité, concavité, etc. Vous allez voir, on s'est dit que pour toutes x dans R+, on sait que la fonction x dans ln de 1 plus x est concave cette fois-ci sur moins 1 plus l'infini. Sa courbe se situe donc en-dessous de cette tangente. En effet, elle a cette tête-là. Et peu importe les tangentes que je dessine, la courbe se situe en-dessous des tangentes. En particulier, encore une fois, elle est en-dessous de sa tangente en 0. Sauf que sa tangente en 0, qu'est-ce qu'elle vaut? Elle vaut x, si vous faites le calcul. On en déduit donc que ln de 1 plus x est inférieur ou égal à x. Merci à tous.

Inégalités classiques !

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