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Complexes : Sujets d'écrits

Dans cette vidéo, on étudie les propriétés des nombres complexes. 
Tout d'abord, on montre que deux nombres complexes ont les mêmes arguments si et seulement si leur conjugué multiplié ensemble est un nombre réel positif. 
Ensuite, on démontre l'inégalité triangulaire pour le module de la somme de deux nombres complexes : le module de la somme est inférieur ou égal à la somme des modules. De plus, cette inégalité devient une égalité si et seulement si le conjugué du produit des deux nombres complexes appartient à l'ensemble des nombres réels positifs.
On généralise ensuite cette inégalité triangulaire pour la somme de n nombres complexes en utilisant la récurrence.
Ensuite, on montre que si la somme des nombres complexes divisés par leur module est égale à zéro, alors la somme des modules de ces nombres est inférieure ou égale à la somme des modules de z moins chaque nombre complexe.
Enfin, on montre que cette inégalité devient une égalité si et seulement si le conjugué de chaque nombre complexe divisé par z moins ce nombre complexe appartient à l'ensemble des nombres réels positifs.
Cette démonstration nécessite une bonne manipulation et calcul des nombres complexes.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va se pencher sur une somme particulière. Alors, on pose Z et Z' deux nombres complexes différents de zéro, il faut montrer que Z et Z' ont les mêmes arguments, si et seulement si, le conjugué de Z fois Z' appartient à R+. Alors, ça veut dire quoi que Z bar Z' appartient à R+, ça veut dire que l'argument de ce nombre complexe est conclu à zéro modulo 2π. Alors, vu qu'on ne pose pas de cadre théorique, c'est à nous de prendre l'initiative. Donc si on pose θ et θ' les arguments respectifs de Z et Z', et bien, par propriété d'association des arguments, l'argument de Z bar Z' c'est θ' moins θ. Donc est-ce qu'on peut résonner en équivalence à partir de ça ? Eh bien, Z bar Z' appartient à R si et seulement si, comme on l'a dit, θ' moins θ est conjugué à zéro modulo 2π. Ça veut donc dire, si et seulement si, θ' est conjugué à θ modulo 2π. Donc, si et seulement si, Z et Z' ont le même argument. Nous avons répondu à la première question. Ensuite, montrer que pour tout nombre complexe Z et Z', alors la valeur absolue de Z plus Z' est inférieure ou égale, pardon, pas la valeur absolue, le module de Z plus Z' est inférieure ou égale au module de Z plus le module de Z'. Il s'agit de la première inégalité triangulaire. Il faut en plus montrer que cette inégalité est une égalité si et seulement si Z bar Z' appartient à R+. Très bien. Alors, comment est-ce qu'on peut montrer ça ? C'est une démonstration à connaître par cœur. Elle est issue du cours, donc on se penche bien là-dessus. Alors, bien sûr, on demande pour les nombres complexes quelconques. Donc, on commence par fixer Z et Z' dans C. Et puis, si on se penche sur la définition du module au carré d'un nombre complexe, donc ici pour le nombre complexe Z plus Z', eh bien, c'est le nombre complexe en lui-même fois son conjugué. Donc, on distribue suivant la somme. Donc, c'est Z plus Z' facteur de Z bar plus Z' bar. Maintenant, on développe. Ça nous donne quoi ? Z' plus Z' bar plus Z' bar plus Z' bar Z' plus Z' bar Z'. Donc, à partir de là, est-ce qu'on peut faire intervenir des grandeurs qui nous intéressent ? En effet, Z', Z' et Z' bar Z', ce sont simplement les modules. Et puis, si on regarde plus particulièrement ces deux nombres juste ici, eh bien, si on applique deux fois le passage au complexe conjugué, eh bien, c'est une opération neutre. Donc, on peut tout à fait l'opérer deux fois. C'est donc égal au conjugué du conjugué en dessous, c'est-à-dire conjugué de Z fois Z'. Donc, en fait, ces deux nombres-là, ils sont conjugués. Ils sont conjugués l'un de l'autre. Donc, au final, leur somme, c'est égal à deux fois la partie réelle d'un des deux. Donc, disons la partie réelle de Z fois Z' bar. Eh oui, c'est la propriété des nombres conjugués. Donc, finalement, si on récapitule, le module de Z plus Z' au carré, c'est le module de Z au carré plus deux fois la partie réelle de Z'' bar plus le module de Z' au carré. Très bien. Qu'est-ce qu'on peut dire à partir de là ? Eh bien, on sait que la partie réelle d'un nombre complexe est inférieure ou égale à son module. Ça, c'est toujours le cas. De toute façon, on rajoute un petit bout de partie imaginaire. Donc, au final, elle est toujours inférieure ou égale au module. Donc, finalement, on peut établir une inégalité. Si, ici, on avait mis plus deux fois le module de Z'' bar, ça aurait été totalement égal au module de Z plus le module de Z' le tout au carré. Et ainsi, par croissance de la racine carré, on peut conclure sur le fait que le module de Z plus Z' est inférieur ou égal au module de Z plus le module de Z'. Maintenant, on regarde quand est-ce qu'il y a égalité. Eh bien, il y a égalité quand la partie réelle est égale au module. Alors, quand est-ce que la partie réelle d'un nombre complexe est égale à son module ? C'est quand ce nombre complexe appartient à R+. C'est donc un nombre réel positif. Conclusion. On libère le fait qu'on ait fixé des nombres dans C. Donc, pour tout Z'Z' appartenant à C, le module de Z plus Z' est inférieur ou égal au module de Z plus le module de Z', avec égalité, si et seulement si, Z'Z' bar appartient à R+. Question B, maintenant. On pose n supérieur à 2, et puis on choisit plein de noms complexes, Z1 jusqu'à Zn. Il faut montrer que le module de la somme est inférieur ou égal à la somme des modules. Et puis, en plus, question C, montrer que l'inégalité ci-dessus est une égalité, si et seulement si, pour tout i et j appartenant à 1 et n, Z'Z' bar appartient à R+. Alors, c'est parti. En fait, si on regarde bien, lorsque l'on a n égale 2, on retombe sur la première inégalité triangulaire qu'on a montrée juste avant. Donc, au final, on se doute, vu qu'on doit montrer pour tout n, qu'on va passer, bien sûr, par la récurrence. Alors, qu'est-ce qu'elle peut nous dire, cette récurrence ? Alors, montrons par récurrence que pour tout n supérieur ou égal à 2, la propriété n est vraie, c'est que la propriété au rang n, c'est ce qu'on cherche à montrer. Le module de la somme est inférieur ou égal à la somme des modules. Pour l'initialisation, on commence pour n qui est égal à 2. D'après 2A, c'est bon, vu que c'est deux nombres complexes différents, le module de la somme est bien inférieur ou égal à la somme des modules. Et maintenant, pour l'hérédité, c'est la nomenclature de base, on pose n supérieur ou égal à 2, et on suppose que la propriété au rang n est vraie. Maintenant, on cherche à montrer que du coup, la propriété au rang n plus 1 est vraie aussi. C'est quoi la propriété au rang n plus 1 ? C'est le module de la somme jusqu'à n plus 1, est inférieur ou égal à la somme des modules jusqu'à n plus 1. Donc au final, vu qu'on a supposé que Pn était vrai, on a dans notre sac cette inégalité juste ici. Donc comment est-ce qu'on s'en sort ? On considère le nombre complexe juste ici, la somme jusqu'à n, et le nombre complexe là, Zn plus 1, ce sont deux nombres complexes. Donc on peut appliquer l'inégalité triangulaire de base qu'on a fixée en 2A, c'est donc inférieur ou égal au module de la somme jusqu'à n plus le module de Zn plus 1. Et là, ça y est, on peut utiliser notre hypothèse de récurrence, puisqu'on sait que le module de cette somme est inférieur ou égal à la somme des modules jusqu'à n. Et donc on obtient finalement l'inégalité souhaitée. Pn plus 1, la propriété au rang n plus 1 est vraie, donc finalement on a montré que la propriété au rang n implique la propriété au rang n plus 1. Très bien, donc conclusion par principe de récurrence, pour tout n supérieur ou égal à 2, le module de la somme est inférieur ou égal à la somme des modules. Très bien, et puis maintenant il faut montrer que le cas d'égalité est vrai, si et seulement si pour tout i et j, on a le zi bar fois zj qui appartient à R+. De la même manière, on pourrait faire, d'ailleurs on aurait pu la filer tout au cours de 2B, mais en effectuant de même une récurrence, on sent que cette propriété va se propager de la même manière. Il y a égalité si et seulement si pour tout i et j appartenaient à Rn, et bien zi fois zj bar appartient à R+. On a juste à sélectionner les indices qui nous font. Ensuite, question 3. Soit n supérieur ou égal à 2, encore une fois, à l'entier, et puis z1, zn, des noms complexes tous non nuls, pour tout k appartenant à 1n, on pose ak qui est égal au nombre complexe zk divisé par son module. Et on suppose que la somme des ak est égale à 0. Maintenant, il faut montrer que pour tout z appartenant à c, si on pose la somme en fonction de z, s de z, qui est égale au nombre complexe, à la somme des conjugués des ak, fois zk moins z. Très bien, il faut montrer que cette somme, s de z, est un nombre réel positif indépendant de z, que l'on précisera en fonction de z1 et zn. Ça paraît assez peu intuitif, mais on va se pencher là-dessus. Comment est-ce qu'on pourrait réinterpréter s de z ? Si on pose z, un nombre complexe quelconque, s de z est égal à la somme qu'on a établie juste ici. Et bien sûr, on va exprimer en fonction de l'expression des ak. Et au final, en développant à chaque fois, on obtient le conjugué de z1, fois z1, divisé par son module. Pour le premier, au final, ça nous donne le module de z1, moins z1 bar, divisé par son module, fois z. Donc au final, on n'a même pas besoin de développer, on a juste à mettre moins z, fois la somme des ak. À chaque fois, bien sûr, conjugué. Donc on arrive là-dessus. Au final, qu'est-ce qu'on obtient ? D'un côté, on a la somme des modules, et de l'autre, on a moins z, fois la somme des ak. Or, on sait que la somme des ak est égale à zéro. Pour l'adapter, on a juste à passer au conjugué dans cette expression. Et on a donc que la somme des conjugués de ak est égale à zéro aussi. Donc au final, s de z, c'est tout simplement la somme des modules des zi que l'on considère. Et donc ça appartient à R+. Ensuite, question B. En déduire que pour tout nombre complexe z, la somme des modules des zi est inférieure ou égale à la somme des modules de z moins zi. Très bien. Alors qu'est-ce qu'on peut dire à partir de là ? Eh bien, d'après ce qu'on a montré, la somme des modules, c'est s de z. C'est donc la valeur absolue de la somme juste ici. Par inégalité triangulaire, on peut décomposer le module de cette somme comme une somme des modules. C'est donc inférieur à la somme des modules des ak conjugués facteurs de zk moins z. Et au final, si on regarde à chaque fois chaque terme, le module de ak conjugué fois zk moins z, c'est tout simplement le module de zk moins z. Et on obtient bien l'inégalité que l'on cherche. Et finalement, dernière question, la question C. Montrer de plus que cette inégalité est une inégalité, encore une fois, si et seulement si, pour tout cas appartenant à 1n, le conjugué de ak facteur de zk moins z appartient à R+. Et donc, on va raisonner de la même manière. Il y aurait eu égalité si et seulement si pour tout i et j appartenant à 1n. Et bien, le nombre complexe ai conjugué facteur de zi moins z fois le conjugué de aj fois zj moins z appartient à R+. Donc au final, d'après ce qu'on a dit à la question 1, c'est tout simplement si tous ces nombres complexes ont le même argument. Finalement, des nombres qui ont le même argument ont le même argument que leur somme. La somme de nombres qui ont le même argument, cette somme, a le même argument que tous les nombres qu'elle a sommés. Donc finalement, il aurait fallu que S de z qui appartient à R+, d'après la question 3a, propage son argument à tous les autres. Donc finalement, il y a égalité si et seulement si pour tout i appartenant à 1n, le complexe conjugué de ai facteur de zi moins z appartient à R+. Voilà, c'est la fin de cet exercice très complet, franchement, sur les complexes, qui demande un bon niveau déjà de manipulation et de calcul. N'hésitez pas à le reprendre à tête reposée. Bien retrouver la démonstration pour la première inégalité trinomialaire. À partir de là, c'est résumer sur les formules du module, etc. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt !

Somme et inégalité

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