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Dans cette vidéo, Corentin résout cinq équations de trigonométrie. La première équation est arcsinus de x est égal à arccosinus de 1 tiers moins arccosinus de 1 quart. Pour la résoudre, il utilise l'équivalent suivant: y est égal à arcsinus de x si et seulement si sinus de y est égal à x avec y compris entre moins pi sur 2 et pi sur 2. Il en conclut que x est égal à sinus de arccosinus de 1 tiers moins arccosinus de 1 quart, et utilise des formules trigo pour trouver la solution.Pour la deuxième équation, 2x divisé par 1 plus x carré est égal à racine de 3 sur 2, qu'il résout avec le théorème de Pythagore et la résolution d'un polynome de degré 2.La troisième équation est arc tangente de 2x plus arc tangente de 3x est égal à pi sur 4, qu'il résout en passant à la tangente et en appliquant une formule d'addition.La quatrième équation est arc sinus de x plus arc sinus de racine de 1 moins x carré est égal à pi sur 2. Il pose x est égal à sinus de theta, utilise des formules trigo pour simplifier l'équation, et détermine que theta doit être compris entre 0 et pi sur 2.Enfin, la dernière équation n'a pas de solution car arc tangente de 2 et arc tangente de 3 sont strictement supérieurs à pi sur 2, alors que la fonction arc sinus est à valeur dans moins pi sur 2 pi sur 2.

Salut à tous, c'est Corentin, bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice qui ne contient non pas deux, non pas trois, mais bel et bien cinq équations. Et ces équations, je les apprécie beaucoup parce qu'elles nous poussent à nous questionner en profondeur sur notre chapitre sur la trigonométrie, mais aussi à utiliser toutes sortes d'astuces, et ça on le sait c'est vraiment indispensable en classe prépa. Alors commençons tout de suite par notre première équation, notre première équation qui est arcsinus de x est égal à arccosinus de 1 tiers moins arccosinus de 1 quart. Ici, quand on voit une équation faisant intervenir des arcsinus, des arccosinus, quand on voit surtout que l'inconnu est contenu dans un arcsinus, ce qu'on veut c'est clairement passer au sinus pour nous simplifier des calculs et puis pour pouvoir avancer vers quelque chose. Par contre on ne passe pas au sinus n'importe comment, puisqu'on utilise l'équivalent suivant. On sait que y est égal à arcsinus de x pour x compris dans moins 1 1, attention, si et seulement si, sinus de y est égal à x avec y contenu dans moins pi sur 2 pi sur 2. Nous reste donc à vérifier si les hypothèses de notre équivalent sont bien respectées. Dans le cas qui nous intéresse, on remarque quoi? On remarque que arccosinus de 1 tiers est compris entre 0 et pi sur 2 et que moins arccosinus de 1 quart est compris entre moins pi sur 2 et 0. On a donc arccosinus de 1 tiers moins arccosinus de 1 quart qui est bien compris dans l'intervalle moins pi sur 2 pi sur pi sur 2. On peut passer au sinus et donc on a notre équation qui est équivalente à x est égal à sinus de arccosinus de 1 tiers moins arccosinus de 1 quart. Et là je déconne, les petits paresseux vous allez me dire bon ben x est isolé, ici on a un truc indépendant de x, on s'arrête là. Non, ce qu'on veut c'est simplifier et avoir un résultat à peu près lisible, à peu près propre. Donc là ce que je vous fais quand même, je suis sympa, c'est un petit rappel qui vous dit que le sinus de a moins b c'est égal à sinus de a arccosinus de b moins sinus de b arccosinus de a. Et on a une deuxième formule trigo de base qui est que 1 est égal à arccosinus de a carrés plus sinus de a carrés. Ici ce qu'on fait c'est qu'on pose a est égal à arccosinus de 1 tiers et b qui est égal à arccosinus de 1 quart. On applique notre formule et puis on se ramène à ça. Qu'est ce qu'on remarque? Notre cosinus de arccosinus, nos deux cosinus de arccosinus ici, ça va simplifier, ça va nous donner 1 quart et 1 tiers ici. Mais notre sinus de arccosinus, ça ne simplifie pas. Et c'est là que j'utilise ma deuxième équation puisque je vais remplacer mon sinus par un 1 moins cosinus carrés à la racine en utilisant cette formule là. Et ça me permet donc de me ramener à une formule faisant intervenir un cosinus de arccosinus cette fois-ci et ça, ça simplifie. En conclusion ce qu'on obtient c'est une solution qui est la suivante quand on mène nos calculs à bien. Mais bon là je vous ai fait, je n'ai pas vos machins de travail non plus, je vous ai donné les parties les plus compliquées et puis bon vous menez les calculs à terme c'est du niveau première, c'est largement avoidable pour vous, je vous rassure. Passons à présent donc à la deuxième équation. La deuxième équation ce qu'on fait c'est qu'on procède un peu de la même manière, au début en tout cas. Ce qu'on va vouloir faire c'est passer clairement au sinus ici. Et qu'est ce qu'on fait? On procède de la même manière donc on vérifie nos hypothèses. Ici on remarque que pi sur 3 est bien un élément de moins pi sur 2 et qu'on a toujours 2x divisé par 1 plus x carré qui est compris entre moins 1 et 1. A partir de là on ne se pose plus question et on passe au sinus. On passe au sinus et on obtient l'équation suivante que 2x divisé par 1 plus x carré est égal à sinus de pi sur 3 et ça d'après le cercle trigon on sait que c'est égal à racine de 3 sur 2. Et puis là qu'est ce qu'on remarque? En fait on a une bête équation du second degré. Donc delta racine 1 racine 2 et compagnie. Je vous épargne les calculs, vous savez faire, je vous connais. Et on retrouve que notre solution est égale à racine de 3 divisé par 3 et racine de 3 une fois qu'on a calculé les racines de notre polynome. Passons à présent à notre troisième équation. La troisième équation est la suivante arc tangente de 2x plus arc tangente de 3x est égal à pi sur 4. Là qu'est ce qu'on a envie de faire? On voit des arcs tangentes, on a envie de passer à la tangente. On passe à la tangente et puis on se ramène à tangente de arc tangente de 2x plus arc tangente de 3x est égal à 1. Et là je ne veux voir personne qui me fait un tangente de a plus b est égal à tangente de a plus tangente de b. Non, on a encore des formules d'addition malheureusement. On sait que tangente de a plus b est égal à tangente de a plus tangente de b divisé par 1 moins tangente de a fois tangente de b. A partir de là j'applique ma formule d'addition en posant a est égal à arc tangente de 2x et b est égal à arc tangente de 3x. Et puis encore une fois on se ramène à un polymme de degré 2. A partir de là les solutions delta, delta racine 1, racine 2, vous savez faire, je vous connais. Et on trouve que nos solutions sont égales à moins 1 et 1 sur 1 et 1 sixième. Passons à la quatrième équation qui est arc sinus de x plus arc sinus de racine de 1 moins x carré est égal à pi sur 2. Puisque notre calcul fait intervenir des arc sinus de x, on se limite à x dans moins 1, 1. C'est en fait exactement ce que j'ai dit au début. Mais là ce que j'ai envie de faire c'est d'avoir une nouvelle approche pour résoudre cette équation pour bien vous faire comprendre que les hypothèses que x est dans moins 1, 1 c'est vraiment fondamental et ça peut vraiment nous aider. Parce qu'en fait l'idée que j'ai eu moi c'est de poser x est égal à sinus de theta avec theta dans moins pi sur 2 pi sur 2. On sait que sinus de theta ça réalise une bijection de moins pi sur 2 pi sur 2 dans moins 1, 1. A partir de là j'ai le droit de faire mon changement de variable puisque une fois que j'aurai trouvé sinus de theta, je retrouverai forcément x puisque j'ai bijection. Ainsi mon équation devient en posant x est égal à sinus de theta cette équation là. Donc on sait que mon arc sinus de x se transforme en arc sinus de sinus theta donc x se transforme en theta. Et puis ce que je fais c'est que je transforme mon cosinus theta en sinus de pi sur 2 moins theta par des formules de base que vous pouvez lire directement sur le site trigonométrique. Et là qu'est ce que je remarque? Si je passe le theta de ce côté là, j'obtiens un arc sinus de sinus de pi sur 2 moins theta est égal à pi sur 2 moins theta. Or je sais par définition d'arc sinus que arc sinus de sinus de theta est égal à theta si et seulement si t est dans moins pi sur 2 pi sur 2 par les hypothèses que je vous ai exprimées dans l'équivalence au début de l'exercice qui est vraiment fondamentale et j'insiste vraiment là dessus. Donc en fait on a, puisque ici notre t est égal à pi sur 2 moins theta, que mon pi sur 2 moins theta appartient à moins pi sur 2 pi sur 2. Et ça c'est équivalent à dire que theta appartient à 0 pi. D'où finalement en fait mon theta appartient à l'intersection des deux intervalles. Puisque au début de l'exercice j'ai supposé que theta était dans moins pi sur 2 pi sur 2 et mon équation me mène à dire que mon theta en fait il appartient aussi à 0 de pi. Donc s'il appartient à moins pi sur 2 pi sur 2 et 0 de pi, intersection. Le et intersection automatiquement. D'où mon theta finalement il appartient à l'intervalle 0 pi sur 2. L'ensemble des solutions est donc constitué des réels x est égal à sinus de theta pour theta dans 0 pi sur 2. C'est à dire que l'ensemble des solutions pour x cette fois ci je passe de mon sinus theta à x, c'est 0. Passons en présent à notre dernière équation. Et ce que je vous propose c'est un petit rappel sur les thètes qu'elles ont en fait nos fonctions arc sinus et arc tangente. On remarque que arc sinus est défini entre moins 1 et 1 et en moins 1 elle vaut moins pi sur 2 et en 1 elle vaut pi sur 2. Et arc tangente est défini sur l'air tout entier. Elle a une asymptote en moins pi sur 2 en moins l'infini et en pi sur 2 en plus l'infini. Et là qu'est ce qu'on remarque? On remarque puisque 2 et 3 sont strictement supérieurs à 1, on a arc tangente de 2 et arc tangente de 3 strictement supérieurs à pi sur 4. D'où arc tangente de 2 et arc tangente de 3 strictement supérieurs à pi sur 2. Or on sait que la fonction arc sinus de x est définie uniquement sur moins pi sur 2 pi sur 2 pour tout x dans moins 1. On sait que la fonction arc sinus de x est à valeur dans moins pi sur 2 pi sur 2 pour tout x dans moins 1. On en déduit que l'équation en fait n'a pas de solution puisqu'on est en train de chercher un réel x qui vérifierait arc sinus de x est égal à quelque chose strictement supérieur à pi sur 2. Donc en fait on serait là, on chercherait un réel x qui serait par là, on chercherait l'intersection de cette courbe là avec cette droite là. Impossible, impossible. Conclusion, l'équation n'a plus pas de solution.

Equations avec arccos arcsin arctan

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