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Fonctions (1) : Sujets d'écrits

Dans cette vidéo, Corentin nous présente un exercice sur les fonctions Lipschitzschiene en mathématiques. Il commence par définir les termes et notations importants, puis explore les différentes questions de l'exercice. La première question demande de montrer que l'ensemble des fonctions Lipschitzschiene est non vide et stable par combinaison linéaire. La deuxième question demande de montrer que la composition de deux fonctions Lipschitzschiene est également une fonction Lipschitzschiene. La troisième question explore l'idée que si deux fonctions sont bornées, leur produit est également une fonction Lipschitzschiene. Enfin, Corentin présente un contre-exemple pour prouver que le produit de deux fonctions Lipschitzschiene n'est pas toujours Lipschitzschiene.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour de la correction d'un sujet d'écrit centré autour des fonctions Lipchitzschine. Alors commençons tout de suite la lecture de l'énoncé. On note f, l'ensemble des fonctions de R dans R, et l, sa partie constituée des fonctions Lipchitzschine de R dans R. Et on rappelle que phi est dite Lipchitzschine s'il existe un réel k-indice phi pour lequel phi de y moins phi de x est inférieur ou égal à k-indice phi fois y moins x. Ensuite on vous introduit quelques notations et quelques rappels de trigonométrie. Commençons tout de suite par la question a1 qui est de montrer que l n'est pas vide et stable par combinaison linéaire. Alors montrons que l n'est pas vide. On remarque quoi? On remarque que la fonction identiquement nulle sur R est zéro Lipchitzschine. A partir de là l n'est pas vide puisqu'elle contient cette fameuse fonction identiquement nulle sur R. Montrons maintenant que l est stable par combinaison linéaire. Et là la rédaction c'est toujours la même. Soit f et g deux éléments de l et lambda n u deux réels quelconques. Alors pour tout réel x et y on a lambda f plus nu g de x moins lambda f plus nu g de y qui est inférieur ou égal à cette formule là par une égalité triangulaire. Puis puisque g et f sont k g et k f Lipchitzschine et bien on peut remplacer le f de x moins le f de y et le g de x moins g de y et bien par k indices f de x moins y et k indices g de x moins y puis factoriser par x moins y. Et on obtient donc que l est stable par combinaison linéaire puisque et bien lambda f plus nu g et bien lambda fois k f plus nu fois k g Lipchitzschine. Passons à présent la question a2 qui est de montrer que la composée de deux éléments de l est bien un élément de l. Alors soit f et g deux éléments de l et x et y deux réels. Et bien moi ce que je fais c'est que je pense f de g de x moins f de g de y comme f de x moins f de y avec x qui serait g de x et y qui serait g de y. En fait ces deux choses là appartiennent à r et à partir de là je peux très bien appliquer mon inégalité des accroissements finis à f. Donc je dis que cette quantité là est inférieure ou égale à k indices f facteur de g de x moins g de y. Mais on sait aussi que g et k indices g Lipchitzschine et à partir de là je peux appliquer mon inégalité des accroissements finis et puis obtenir que k indices f de g de x moins g de y est inférieur ou égal à k indices f fois k indices g de x moins y puisque g et k indices g Lipchitzschine. En conclusion f rond g est k indices f fois k indices g Lipchitzschine donc en particulier f rond g appartient à l'ensemble des fonctions Lipchitzschine. Passons à présent à la question 3 qui nous demande si f et g sont deux fonctions bornées de l, montrer que leur produit f fois g est aussi une fonction de l. Et puis après on nous demande une petite question en plus qui est est-ce qu'il en est de même si f et g ne sont pas toutes les deux bornées? Voyons voir. Soit donc f et g deux fonctions bornées de l. Soit m indices f et m indices g deux réels tels que pour tout x dans R la valeur absolue de f de x est inférieure ou égale à m indices f et la valeur absolue de g de x est inférieure ou égale à m indices g. Mais alors pour tout réel x et y on a alors f fois g de y moins f fois g de x qui est égal à f de y fois g de y moins f de x fois g de x est égal à ce découpage là. Et ça vraiment je vous invite à le garder en tête parce que c'est vraiment quelque chose qui va nous servir beaucoup que ce soit pour ce sujet mais pour toute votre vie en prépa, pour des exodoreaux, pour des exodes d'écrit. C'est vraiment quelque chose qui revient assez souvent. Alors qu'est ce que je fais? Ce que je fais c'est que je découpe de cette manière là que f de y fois g de y moins f de x fois g de x est égal à f de y fois g de y moins f de y fois g de x plus f de y fois g de x moins f de x fois g de x. J'ai ajouté cette quantité là et enlevé la même quantité. Donc en fait on est vraiment en train de dire que c'est la même chose. Mais encore une fois mon inégalité triangulaire me permet de découper cette égalité là et d'obtenir que ma quantité de départ est inférieure ou égale à f de y fois g de y moins f de y fois g de x plus f de y fois g de x moins f de x fois g de x. Et là qu'est ce qu'on remarque? On remarque qu'on peut factoriser ici par f de y et factoriser ici par g de x. Mais on sait que f de y est inférieur ou égal à m indice f et que g de x est inférieur ou égal à m indice g par hypothèse sur f et g puisqu'elles sont bornées. Mais aussi puisque g est k indice g l'hyptéchène et f est k indice f l'hyptéchène, on peut encore majorer cette égalité là et dire que le tout, que tout ça là, c'est égal à m indice f fois k indice g y moins x et que cette égalité là est inférieure ou égale à m indice g fois k indice f y moins x. A partir de là, en factorisant par y moins x, on trouve que f et g est un élément de L qui est m indice f fois k indice g plus m indice g fois k indice f l'hyptéchène. Attardons-nous à présent sur notre contre-exemple. Si f et g ne sont pas toutes les deux bornées, ce que je vais vouloir faire c'est trouver un contre-exemple parce qu'on le sent venir ces trucs là, c'est vraiment un contre-exemple qu'on va trouver. Un contre-exemple qui me dit que même si f et g sont l'hyptéchène, f fois g n'est pas forcément l'hyptéchène. Alors moi ce que j'ai choisi c'est de prendre f et g est égal à l'identité sur R. f et g sont un hyptéchène mais on remarque que f fois g c'est la fonction kx associée x² et ça ne l'est pas. En effet, supposons par l'absurde qu'il existe un réel k dans R tel que pour toute x y dans R, f fois g de x moins f fois g de y est inférieur ou égal à k fois x moins y. Et puis moi ce que j'ai envie de prendre maintenant c'est prendre x est égal à n et y est égal à n plus 1 puisque cette inégalité est censée marcher pour toute x et y dans R, j'ai qu'à en prendre des particuliers pour voir si ça marche toujours. Mais alors mon inégalité devient 2n plus 1 inférieur ou égal à k fois 1. Mais ça, ça tend vers plus l'infini et ça c'est indépendant de n. Donc c'est complètement absurde, on est en train de dire qu'une suite qui tend vers plus l'infini est bornée. C'est absurde. Conclusion, on vient bien de trouver un contre-exemple qui nous dit que le produit de deux fonctions Lipschitzschiene n'est pas forcément Lipschitzschiene.

Type Mines : Partie A - 1/4

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