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Fonctions (1) : Sujets d'écrits

Ce cours traite de la démonstration de l'existence de deux réels positifs a et b pour toute fonction Lipschitzienne f, telle que pour tout réel x, la valeur absolue de f de x soit inférieure ou égale à a fois la valeur absolue de x plus b. La démonstration repose sur une inégalité triangulaire et sur le caractère Lipschitzien de f. Ensuite, le cours aborde la question de la généralisation de cette propriété pour toutes les fonctions vérifiant que pour tout réel x et y, ayant une distance inférieure ou égale à 1, on a f de y moins f de x inférieur ou égal à m fois y moins x. Pour cela, il est nécessaire de montrer que la fonction en question appartient à l'ensemble des fonctions Lipschitzienne. La démonstration passe par une décomposition et une majoration de la différence de f entre deux réels x et y, d'une distance strictement supérieure à 1, en utilisant une combinaison télescopique et l'inégalité triangulaire. Finalement, la propriété Lipschitzienne est établie, et la fonction est montrée comme étant m-lipschitzienne.

Rebonjour à tous, c'est Corentin. On se retrouve pour la suite de la correction de notre sujet d'écrit avec la correction des questions 4 et 5. Alors attaquons tout de suite. Soit f une fonction Lipschitzienne, montrer l'existence de deux réels positifs a et b tel que pour tout réel x on est à la valeur absolue de f de x inférieur ou égal à a fois la valeur absolue de x plus b. C'est une question assez classique qui revient que ce soit à l'oral ou à l'écrit des concours et vous allez voir en fait elle n'est pas si difficile que ça à maîtriser. Soit donc f une fonction Lipschitzienne. On a en particulier pour tout réel x, valeur absolue de f de x qui est égale à valeur absolue de f de x moins f de 0 plus f de 0. Et là je vous fais remarquer que c'est encore la même mécanique qu'on utilisait à certaines des questions précédentes qui est d'enlever un réel et de le rajouter comme ça. En fait là on n'a rien fait finalement, on a juste enlevé quelque chose et rajouté. On n'a rien transformé mais vous allez voir que ça nous arrange et ça nous aide vraiment à résoudre les questions. Ça nous aide vraiment à avancer dans ce genre d'exercice là. Pourquoi? Parce que là on peut lui appliquer une inégalité triangulaire à notre quantité et dire que ça du coup on peut le majorer par f de x moins f de 0 plus f de 0. Sauf que f de x moins f de 0 en valeur absolue c'est inférieur ou égal à k indice f fois valeur absolue de x moins 0 puisque f est Lipschitzienne. Et on n'oublie pas notre valeur absolue de f de 0. Alors là vous remarquez qu'on a fini. En posant a est égal à k indice f et b est égal à valeur absolue de f de 0 on a bien montré que f de x pouvait être majoré par un a fois valeur absolue de x plus b. Passons maintenant à la question suivante. La question suivante qui nous demande de montrer que pour une fonction quelconque cette fois-ci mais qui vérifie pour tout réel x et y vérifiant y moins x est inférieur ou égal à 1, c'est à dire pour tout réel de distance inférieure à 1, on a f de y moins f de x inférieur ou égal à m fois y moins x. On se rend compte que c'est une espèce de caractère Lipschitzienne cette fonction mais qui est valable uniquement pour les réels qui ont une distance inférieure ou égal à 1. Il faut montrer qu'en fait ça on peut le généraliser à tous les réels. Autrement dit que f appartient à l'ensemble des fonctions Lipschitzienne. Alors commençons tout de suite. Soit f dans notre fonction quelconque. Et puis là ce que j'ai fait c'est que j'ai réécrit les propriétés k f. Pour tout réel x et y de distance inférieure ou égal à 1 on a une espèce de caractère Lipschitzienne qui apparaît comme ça. Maintenant ce que je vais pouvoir faire c'est le généraliser à tous les réels. Là ce que je vais faire c'est que je vais forcer le fait que mes deux réels cette fois-ci x et y aient une distance strictement supérieure à 1. C'est pour ça que je suppose x plus 1 strictement inférieur à y. Et l'idée en fait ça va être d'intercaler entre cx et cy des entiers. Soit donc p et q l'ensemble des entiers strictement compris entre x et y. Et on a f de x moins f de y qui est égal à tout ça. Et ce que j'ai fait en fait c'est que j'ai fait toujours la même mécanique d'ajouter puis d'enlever d'ajouter puis d'enlever d'ajouter puis d'enlever mais cette fois-ci pour les q moins p réels qui sont compris entre f de y moins f de x. Ce que j'ai fait c'est que j'ai ajouté j'ai enlevé f de q j'ai ajouté f de q j'ai enlevé f de q moins 1 j'ai ajouté f de q moins 1 et j'ai fait comme de cette manière là jusqu'à p. Et là qu'est ce qu'on remarque? Encore une fois ce que je fais c'est que j'applique mon inégalité triangulaire mais cette fois-ci à ma somme toute entière. Sauf que par le caractère par la propriété que l'énoncé suppose sur f et puisque cette fois-ci mes y moins q et pareil mes k plus 1 moins k et bien ils sont bien à distance inférieure ou égale à 1 je peux majorer par m fois donc y moins q k plus 1 moins k p moins x. Mais là qu'est ce que je remarque? Et c'est pour ça que j'ai pris cette somme elle est télescopique cette somme et à partir de là je me retrouve avec un m facteur de y moins q plus p moins x ça ça vaut 1 et y a p moins q terme dans cette somme donc je me retrouve avec un m fois y moins x et à ce moment là f est m lupitienne

Type Mines : Partie A - 2/4

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