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PGCD

Dans cet exercice, on cherche à déterminer l'ensemble des entiers naturels n permettant que le PGCD de 2n+3 et de n soit égal à 3. En effectuant la division euclidienne de 2n+3 par n, on trouve que si le PGCD est égal à 3, alors n est divisible par 3. Ensuite, si l'on cherche à déduire l'ensemble des entiers n pour lesquels le PGCD de 2n+3 et de n est égal à 1, on remarque que lorsque n est multiple de 3, le PGCD ne peut pas être égal à 1. Ainsi, si n est de la forme 3k+2 ou 3k+1, où k est un entier naturel, alors le PGCD est égal à 1.

Salut! Dans cet exercice, on va voir un exo avec un PGCD qui va dépendre de n. La première question nous dit déterminer l'ensemble des entiers naturels n, tels que le PGCD de 2n plus 3 et de n vaut 3. Alors là, on va penser à faire la division euclidienne de 2n plus 3 par n, enfin l'algorithme d'euclide, pardon, division euclidienne de ces nombres-là, pour que le PGCD vale 3. Donc, si on fait l'algorithme d'euclide, ça veut dire on divise 2n plus 3 par n, donc 2n plus 3, il est déjà divisé par ça, donc 2n plus 3, c'est 2 fois n plus 3. Voilà, c'est déjà la division euclidienne. Donc, 3, c'est le PGCD. Donc, si c'est le PGCD, ça veut dire que c'est le dernier reste non nul. Donc, si on fait n divisé par 3, on sait qu'il y a un reste nul. Donc, ça veut dire qu'il existe un q appartenant à z, bon, q appartient même à n en réalité, tel que n est égal à 3 fois q plus 0, d'accord? C'est la division euclidienne de n par 3. Et du coup, ça veut dire que n est divisible par 3. Donc, finalement, si le PGCD de 2n plus 3 et de n est égal à 3, n est multiple de 3. Ensuite, on nous dit, en déduire l'ensemble des entiers naturels n, tel que le PGCD de 2n plus 3 et de n vaut 1. Là, déjà, ce qu'il faut se dire, c'est que le fait que... Enfin, quand n est multiple de 3, c'est exclu, parce qu'on a montré que si n est multiple de 3, le PGCD, c'est 3. Là, on veut que ce soit égal à 1. Donc, on veut qu'il soit premier entre eux. On va regarder tout simplement ce qui se passe si n s'écrit comme 3 fois k plus 2. Ça veut dire que si le reste de la division euclidienne de n par 3, c'est 2. Donc, 2n plus 3, on l'écrit comme 2 fois n plus 3, d'accord? On fait encore la division euclidienne. Mais n, c'est 3 fois k plus 2. Donc, ça veut dire que si on divise n par 3, on l'écrit comme ça. On continue l'algorithme d'Euclide en divisant 3 par 2. Donc, ça fait 3, c'est égal à 2 fois 1 plus 1. Bon, ben, 1, si on tombe sur 1, c'est toujours le dernier reste non nul. Donc, finalement, le PGCD de 2n plus 3 et de n vaut 1 quand on peut écrire n comme 3k plus 2. Maintenant, il y a une autre façon qu'on n'a pas vue, parce que ici, c'est si on écrit n comme 3 fois k, ici, c'est 3 fois k plus 2, il reste 3 fois k plus 1 à regarder. Si n s'écrit comme 3 fois k plus 1, on fait la même chose. Même principe, on fait l'algorithme d'Euclide. Donc, on fait la division par n de 2n plus 3, c'est 2 fois n plus 3. Ensuite, on fait la division de n par 3. Cette écriture-là nous dit que c'est 3 fois k plus 1. On est tombé sur 1, c'est forcément le dernier reste non nul, donc le PGCD. Le PGCD de 2n plus 3 et de n est égal à 1. Donc, finalement, si n n'est pas multiple de 3, le PGCD de 2n plus 3 et de n vaut 1.

PGCD qui dépend de n

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