Home

Terminale

Maths Expertes

Arithmétique

Nombres Premiers

Dans cet exercice, nous cherchons des couples d'entiers AB qui satisfont l'équation 3 x 21 A = 14 x 9 B. Nous utilisons la décomposition en facteurs premiers pour identifier les puissances de chaque facteur. Nous commençons par décomposer 21 A en 3 x 7 A, ce qui donne 3 x 3 A x 7 A. Ensuite, nous décomposons 14 x 9 B en 2 x 7 x 3 au carré x B. Nous constatons cependant que le 2 n'apparaît pas dans la décomposition de 3 x 21 A et ne peut donc pas être compensé par des valeurs de A ou de B. Par conséquent, il n'existe aucun couple A et B qui satisfait l'équation.

Salut, bienvenue dans cet exercice. Dans cet exercice, le but va être de déterminer les couples AB d'entier qui vérifient que 3 x 21 A est égal à 14 x 9 B. La méthode pour faire ça, c'est de passer par la décomposition en facteur premier. Parce qu'on veut identifier des puissances dans un produit, il faut la décomposition en facteur premier pour bien identifier quelles doivent être les valeurs de A et de B pour qu'on ait la même décomposition en facteur premier. Parce que, rappel, la décomposition en facteur premier d'un nombre est unique. Donc, la décomposition de 3 x 21 A est exactement la même que 14 x 9 B. Enfin, en théorie, si on trouve un A et un B qui vérifient l'égalité. C'est ce qu'on va faire. On va commencer par celle de gauche. Donc, d'abord, le 3 est un nombre premier, donc on sait qu'il va apparaître. Donc, on va d'abord se concentrer sur 21 A. On va le décomposer. 21 A, c'est 3 x 7 A. On utilise les règles de calcul des puissances qu'on connaît maintenant. Quand on a un produit à une puissance, chaque facteur dans le produit va prendre la puissance. Donc, on va avoir 3 A x 7 A. On remet ça dans le calcul de base qui est 3 x 21 A. Ce qui nous fait 3 x 3 A x 7 A. Et 3 x 3 A, ça fait 3 A plus 1 x 7 A. Donc, voilà pour 3 x 21 A. On l'a décomposé. Enfin, il se décompose de manière unique en 3 A plus 1 x 7 A. On fait pareil avec l'autre. Alors, 14 x 9 B. Donc, 14, c'est 2 x 7. Encore une fois, 2 et 7 étant premiers, cette décomposition est unique de 14. 9, c'est 3 au carré. On pourrait écrire 3 x 3, mais on écrit directement 3 au carré, c'est plus rapide. Ici, on va utiliser la règle de calcul d'une puissance de puissance. On va tout simplement multiplier les puissances. Donc, on va multiplier 2 et B. Donc, ça nous fait 2 x 3 puissance de B. 2 x B, ça fait 2 B. Et x 7. Donc là, il faut trouver 1 A et 1 B qui vérifient que ces deux produits sont identiques. Le souci, c'est qu'en fait, 2 divise 14 x 9 puissance B. Donc, en gros, il apparaît dans la décomposition en facteur premier de 14 x 9 puissance B. Mais il n'apparaît pas dans la décomposition de 3 x 21 puissance A. Et ça, c'est un problème. Parce qu'en fait, le 2, on ne peut pas le compenser avec du A ou du B, parce que le A et le B, ils concernent le 3, éventuellement le 7 aussi, mais pas le 2. Le 2, il est tout seul. Ici, il n'y est pas, et ici, il n'y a ni A ni B. Donc, c'est un problème. Alors, c'est un problème, ça veut tout simplement dire qu'il n'existe aucun couple A et B qui vérifie que 14 x 9 puissance B est égal à 3 x 21 puissance A. Et ça conclut l'exercice.

Décomposition en facteurs premiers

RELATED

Recommended videos

Critère d'arrêt : n est premier ?

Démo infinité des premiers