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Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice, on veut savoir si 59 et 27 sont premiers entre eux, c'est-à-dire s'ils n'ont pas de diviseur en commun. Pour le déterminer, on regarde la décomposition en facteur premier de chacun des nombres et on cherche s'il y a un nombre premier en commun. Pour 27, on trouve que le seul nombre premier dans sa décomposition est 3. Donc, s'ils ont un diviseur commun différent de 1, il doit être un multiple de 3. Mais 3 ne divise pas 59, donc leur PGCD vaut 1 et ils sont premiers entre eux.

Salut! Dans cet exercice, on veut savoir est-ce que 59 et 27 sont premiers entre eux. Alors premiers entre eux, ça veut dire qu'ils n'ont aucun diviseur en commun. Donc une méthode pour faire ça, ce serait de regarder la décomposition en facteur premier de chacun des deux nombres, et de voir est-ce qu'il y a un nombre premier en commun dans cette décomposition. Donc là, une facile c'est 27. Donc 59, bon voilà, la décomposition peut être pas forcément aussi évidente que 27. Donc on commence par faire 27, et on voit que 27 c'est 3 puissance 3. Donc le seul nombre premier qui apparaît dans la décomposition de 27, c'est 3. Donc ça veut dire que si ils ont un diviseur commun différent de 1, c'est nécessairement un multiple de 3. Pardon, une puissance de 3. Mais, ça veut dire qu'il y a au moins 3 qui devraient être diviseurs communs. Sauf que 3 ne divise pas 59. On rappelle, un critère de divisibilité, c'est quand on prend chacun des chiffres du nombre, et qu'on additionne, et on voit si le résultat est divisible par 3 ou pas. Donc là, quand on fait 5 plus 9, on a 14. 14 n'est pas divisible par 3, donc 59 non plus. Donc 3 ne divise pas 59. Donc, nécessairement, leur PGCD vaut 1. Et donc voilà pour cet exercice.

Nombres premiers entre eux

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