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Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice, on résout une équation de D'Ouffantienne 13x+9y=2 en rappelant que l'équation admet une solution entière si le PGCD des coefficients devant x et y divise c. Puis, on utilise l'algorithme de Clide pour trouver une solution particulière (-4,6). Enfin, pour trouver l'ensemble des solutions, on utilise la formule x= solution particulière +9k et y=6-13k.

Salut! Dans cet exercice, on veut résoudre une équation de D'Ouffantienne qui est 13x plus 9y est égal à 2. Pour résoudre ça, on fait un petit rappel. Pour résoudre une équation ax plus by égale c, on sait qu'elle admet déjà cette équation à une solution, au moins une solution entière, si et seulement si le PGCD de a et b, donc c'est les coefficients devant x et devant y, divise c, donc le nombre qui est là. Alors on va regarder, ici le PGCD de 9 et 13 c'est 1, tout simplement parce que 13 est un nombre premier et qu'il ne divise pas 9, donc le PGCD c'est 1. Mais du coup 1, ça divise 2, classique. Donc 13x plus 9y égale 2 admet des solutions entières, donc des couples solutions. Donc maintenant, la méthode à faire, c'est de trouver une solution particulière, donc ça veut dire de trouver un x, un y qui vérifie bien cette égalité, et ensuite on généralisera les solutions particulières avec les coefficients, on verra ça juste après. Les solutions générales, avec les coefficients, on verra ça juste après. Alors pour trouver une solution particulière, soit il y en a une qui saute aux yeux, ou alors on y va un peu à tâtonnement, on fait quelques tests et on en trouve une, soit on fait l'algorithme de Clide, et ensuite on fait l'algorithme de Clide pour trouver le PGCD, donc ici pour trouver 1, on sait que ça existe, parce que c'est le théorème de Bézout qui nous dit ça, et ensuite on multipliera par ce qu'il faut pour trouver le nombre qu'on a. On va voir ça, ça va être un peu plus clair. Donc là, on sait que 1, c'est 13x-2 plus 9x3, et ça c'est la relation de Bézout, et du coup, nous ce qui nous intéresse c'est d'avoir 2, pas 1. On multiplie tout simplement par 2. Donc ça nous fait 13x-4, d'accord, moins 2 devient moins 4, plus 9x6, simplement 3 devient 6, on a multiplié par 2, donc voilà, on a nos coefficients, enfin notre x et notre y, qui vérifient bien cette équation. Du coup, on a une solution particulière qui est (-4, 6), c'est une solution de 13x plus 9y est égal à 2. Mais du coup, ce qui nous intéresse c'est l'ensemble des solutions. Donc l'ensemble des solutions, la méthode pour le faire, c'est donc on a x qui vaut sa solution particulière, plus 9k. Donc plus 9k, c'est, on prend le coefficient qui est devant le y, et on le met ici avec un k, et pareil pour y, on fait 6-13k, alors cette fois-ci on met le moins devant le coefficient qui est devant le x. Et donc voilà pour l'ensemble des solutions de cette équation.

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