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Physique-Chimie

Physique

Dynamique du point



Dans cet exercice de dynamique, on étudie le mouvement d'un enfant esquimau qui glisse sur un igloo sphérique de rayon R. Pour déduire les équations de mouvement, on applique le théorème de la résultante cinétique à l'enfant, qui est soumis à son poids et à la réaction normale du support du igloo, mais sans frottement. On obtient ainsi deux équations différentielles portant sur l'angle θ, dont l'une permet de déterminer la réaction normale. En multipliant la première équation par θ, on montre une identité qui porte sur θ², ce qui permet de déterminer l'expression de cette dernière en fonction de θ. En injectant cette expression dans la deuxième équation, on déduit l'expression de la force de réaction du igloo. Enfin, en utilisant la condition de décollement (Rn = 0), on trouve que l'enfant décolle du igloo avant d'atteindre le sol pour un angle θ inférieur à π/3.

Salut c'est Layla, aujourd'hui on va faire un exercice de dynamique. Dans cet exercice on va étudier un enfant qui a priori glisse sur un aiglou, donc un enfant eschimau, de masse petit m. Donc il s'élance de ce point là avec une vitesse, il s'élance sans vitesse initiale et hop, vous voyez, il va glisser ici. Sa position on la repère par l'angle θ, donc vous voyez on est dans un repère polaire et on vous dit que l'aiglou est sphérique de rayon R. Donc il va y avoir un mouvement qui est circulaire ici. Tout d'abord on nous dit appliquer le théorème de la résultante cinétique à l'enfant pour en déduire deux équations différentielles portant sur l'angle θ. Identifier l'équation du mouvement qui permet de déterminer θ de t. Quelle information votre équation contient-elle? Alors ici la résultante cinétique c'est la même chose que le principe fondamental de la dynamique et aussi la même chose que la seconde loi de Newton, vous l'appelez comme vous voulez. L'idée c'est toujours que la masse fois l'accélération c'est égal à la somme des forces vectorielles et il faut commencer par un bilan des forces. Alors à quoi il est soumis cet enfant? Il est soumis à son poids Pvecter qui est égal à moins mg selon EZ et à la réaction du support normal RN qui était selon ER, on ne connaît a priori pas sa valeur donc on dit juste que c'est RNER. Alors la réaction du support est uniquement normale, pourquoi? Parce qu'on glisse sans aucun frottement. A priori la réaction du support est normale et tangentielle donc elle est à la fois selon ER et θ mais lorsqu'on vous dit qu'il n'y a pas de frottement ça veut dire qu'il ne se passe rien selon Eθ, c'est normal vous voyez, ça veut dire qu'on n'empêche pas le mouvement. Par contre il ne faut pas oublier que dans ces cas là il y a quand même une réaction du support, pourquoi? C'est ce qui permet à notre point de rester collé à cet arc de cercle et de ne pas tomber. Donc c'est primordial pour comprendre ce que nous demande l'exercice ici. Alors du point de vue du poids, le poids, il faut que je le projette, vous voyez donc il est comme ça. Donc là je regarde je vais avoir un cosθ selon –ER, je vais avoir ici un sinθ selon Eθ. Encore une fois c'est à vous d'être un peu à l'aise avec ces histoires de projections de trigonométrie dans tous les sens. Alors voilà les expressions, donc maintenant il faut que je connaisse l'expression de l'accélération. Je connais l'expression des forces. Donc mon vecteur position c'est RER, donc R est constant. La vitesse c'est la dérivée par rapport au temps, Rθ.Eθ et l'accélération c'est la dérivée seconde. Là j'ai utilisé comme je vous ai toujours dit le fait que la dérivée de ER par rapport au temps c'est θ.Eθ et la dérivée de Eθ par rapport au temps c'est –θ.ER. Et vous voyez ça nous permet de dériver ici les vecteurs position. Cette formule parfois vous la connaissez par cœur, c'est bien de la connaître par cœur, mais vous voyez si vous savez la retrouver rapidement il n'y a pas de problème. Donc ensuite je passe au principe fondamental de la dynamique, vous voyez ici, et je peux projeter en fait ce qui se passe ici qui est selon ER et ici c'est ce qui se passe selon Eθ. Ça me donne deux équations. –MRθ.² est égal à RN-MGcosθ et Rθ seconde est égal à Gsinθ. La deuxième c'est l'équation du mouvement. Comment je la reconnais? Parce que j'ai un θ seconde, au priori. Vous voyez c'est ce qui va être le plus précis sur le mouvement. Je connais l'expression de l'accélération selon θ. La deuxième, en fait, elle pourrait nous donner des informations sur le mouvement mais il y a un truc qui nous bloque c'est qu'on ne connaît pas le RN. Donc cette équation-là c'est celle qui va permettre de déterminer la réaction du support. Mais par contre on ne sait pas spécialement comment est-ce que tout ça bouge. On va devoir utiliser la deuxième équation, pardon, l'équation du mouvement pour déterminer RN. Alors qu'est-ce qu'on nous demande ensuite? On nous demande de multiplier l'équation par θ. Et de montrer une identité qui porte sur θ.². Alors allons-y. Ça c'est une astuce qu'on utilise souvent, de multiplier une équation par θ. Ou même x. Parfois. Pourquoi? Parce qu'en fait ça fait apparaître des énergies. En général. Donc ça c'est ce que vous verrez dans un prochain chapitre. En attendant ici, vous voyez que si je multiplie par θ. Je retrouve du θ.θ seconde. Et donc ça c'est la dérivée par rapport au temps de θ.². Pourquoi c'est pratique pour nous? Parce que vous vous souvenez dans cette équation-là, la première, on a du θ.² qui apparaît. Donc c'est pratique. J'intègre. Donc quand j'intègre, je n'oublie pas la constante d'intégration et ça me donne ½Rθ.² est égal à –gcosθ plus constante. Donc là il faut regarder que vaut la constante. Donc je regarde évidemment ce qui se passe à t égale 0. On nous dit qu'on part sans vitesse initiale, qui veut dire que pour θ égale 0, j'ai θ. qui est égal à 0. Et donc finalement, ma constante est uniquement égale à g pour que ça soit égal à 0. Et ça me donne l'identité qu'on cherche, θ.² qui est égal à 2g sur R facteur de 1-cosθ. Voilà. Donc ensuite on nous demande de déduire l'expression de la force de réaction de l'igloo. Donc avec ça, c'est plus simple. On prend l'équation de tout à l'heure, –Rθ.² est égal à Rn-mgcosθ et j'injecte ce θ.² que je connais et ça me donne Rn est égal à mg facteur de 3cosθ-2. Finalement, on nous demande l'enfant décolle-t-il du toit de l'igloo avant d'atteindre le sol? Si oui, pour quel angle? Alors, là, c'est la réaction du support. On vous demande quand est-ce qu'il décolle. La condition qu'il faut retenir, c'est que le décollement a lieu lorsque Rn est nul. Pourquoi? Lorsqu'on n'a plus de réaction du support, ce que ça veut dire derrière, c'est dire qu'il n'y a plus rien qui nous retient. Cette force ne s'exerce plus dès que je viens de décoller de mon igloo. Cette force-là s'annule parce que je me retrouve avec un mouvement où je suis soumise uniquement à mon poids. Je ne suis plus sur le support. J'utilise cette condition-là. Rn égale 0, ça veut dire que 3 cosθ-2 égale 0, c'est dire que cosθ c'est égal à 2 tiers. Donc le décollement a lieu avant que l'enfant touche le sol. Pour un cosθ de 2 tiers, c'est dire que j'ai θ qui est plus petit que π sur 3. Or, vous voyez, si je reprends tout mon igloo, le sol est à θ égale π sur 2. Donc si je suis plus petit que π sur 3, ça veut dire qu'en effet, je suis avant le sol. Bon après, ce n'est pas trop grave parce qu'a priori, je ne vais pas tomber de bien haut et évidemment, c'est de la mécanique du point, donc on peut imaginer que peut-être l'enfant se retient un peu avec les mains, etc. Donc il y a d'autres choses qu'on pourrait voir pour modifier un peu ce modèle. Mais en attendant, le résultat principal, c'est qu'il y a un décollement et qu'il a lieu avant que l'enfant touche le sol. J'espère que ça vous aura été utile.

Glissade sur un igloo

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