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Corrigés de BAC

Bac Physique-Chimie

Amérique Nord 2

Dans ce cours, nous étudions le mouvement d'un satellite autour de la Terre. Nous démontrons que la vitesse du satellite peut être exprimée par la relation GMt/RT+Z. Nous calculons ensuite la période de révolution du satellite, qui est d'environ 1h34. En utilisant cette période, nous déterminons que le satellite fait environ 15 tours de la Terre en une journée. 

Ensuite, nous étudions deux satellites, où le premier passe au-dessus d'une zone où le champ gravitationnel n'est pas centripète, contrairement au deuxième satellite. Nous démontrons que la distance entre les deux satellites augmente, car le deuxième satellite est soumis à un mouvement circulaire uniforme, tandis que le premier subit un mouvement circulaire accéléré. En conséquence, la distance entre les deux satellites augmente.

Bonjour à tous, c'est Théobald de Sudéo, et on va continuer à étudier ensemble le mouvement d'un satellite autour de la Terre. Alors souvenez-vous, dans la vidéo précédente, on avait étudié le mouvement d'un satellite sur une orbite circulaire autour de la Terre. On avait montré que ce satellite avait un mouvement circulaire uniforme. On nous demande maintenant de montrer que l'expression de la vitesse V du satellite s'exprime par la relation qu'on a juste là. Alors nous, ce qu'on sait, c'est que d'après la question 4, on avait l'expression de l'accélération qui évoque GMt, qui est la masse de la Terre, divisée par la distance entre mon satellite et le centre de masse de la Terre. Donc RT, le rayon de la Terre, plus Z, le tout au carré, porté par N, qui est dirigé du satellite vers la Terre, qui est un vecteur unitaire. Et puis, on sait qu'un mouvement circulaire uniforme, ça veut dire que mon accélération est portée uniquement par mon vecteur normal, qui est dirigé de mon satellite vers le centre de ma Terre, et on n'a pas d'accélération tangentielle. Ça, c'est du fait de mon mouvement qui est uniforme. Et donc c'est V2 divisé par la distance entre la Terre et mon satellite, donc RT plus Z. Donc on a deux expressions pour A qu'on va pouvoir égaliser. Donc par identification, on sait qu'on a l'égalité entre ces deux expressions de A, qui nous donne que ma vitesse au carré est égale à GMt divisé par RT plus Z. Et donc on a bien l'expression de ma vitesse, qui est la racine de GMt divisé par RT plus Z. On peut ensuite, en tout cas c'est ce qu'on nous demande, déduire la valeur de la révolution du satellite, et de vérifier qu'elle est conforme à l'information dénoncée, qui est leur altitude leur permet de parcourir environ 15 fois leur orbite polaire par jour. Alors on va essayer de déterminer en premier la période de révolution du satellite. À quoi ça correspond en fait ? Ça répond à la question en combien de temps le satellite fait le tour de la Terre. Donc il part du pôle Nord par exemple, il fait un tour et il revient au-dessus du pôle Nord. Donc c'est la distance parcourue pour faire le tour de la Terre divisé par la vitesse de mon satellite, vitesse qui est constante. On l'a démontré dans la vidéo précédente. Et donc si, j'aurais dû mettre dans l'autre sens, mais en fait on obtient cette formule-là, puisqu'on a donc ma Terre qui est ici et mon satellite qui va parcourir tout ce cercle-là, à une distance du centre de la Terre RT plus Z. Donc en fait on cherche le périmètre d'un cercle de rayons RT plus Z. Donc c'est bien 2π RT plus Z, ça c'est la distance parcourue, divisé par la vitesse de mon satellite. On va remplacer V, qu'est-ce qu'il vaut ? Donc là j'ai fait 1 sur V qui est donc racine de RT plus Z divisé par GMT, c'est 1 sur la vitesse. Et on obtient cette expression pour ma période. On fait une application numérique et on obtient que finalement la période de révolution de mon satellite c'est 5653 secondes. Donc à peu près 1h34. Puis la question, donc là 1h34, la question maintenant c'est en un jour, combien de fois est-ce que mon satellite a fait le tour de la Terre ? Et bien pour ça, ce nombre de fois ça va être le nombre de secondes d'une journée divisé par le nombre de secondes qu'il faut pour faire un tour de la Terre. En tout cas qu'il faut à mon satellite pour faire un tour de la Terre. Donc mon nombre de secondes d'une journée c'est 24 x 60 x 60. 60 x 60 c'est le nombre de secondes dans une heure que je multiplie par le nombre d'heures dans une journée. Et on obtient environ 15,3 tours. Donc finalement c'est cohérent avec ce qu'on avait dans l'énoncé, on a que le satellite peut faire environ 15 fois le tour de la Terre en une journée. C'est cohérent avec l'énoncé. Et puis là on a une question qui est assez intéressante. On nous dit qu'on s'intéresse donc à deux satellites. Et puis c'est une situation qui est un peu particulière parce que le premier satellite de tête passe au dessus d'une zone où le champ gravitationnel G1 n'est pas centripète, c'est-à-dire qu'il n'est pas dirigé directement vers le centre de la Terre, il est un petit peu décalé comme on le voit ici. Alors que le deuxième satellite, celui-là, il survole une zone où on a bien un champ gravitationnel qui est lui centripète dirigé vers le centre de la Terre. On nous demande en détaillant le raisonnement si la distance entre les deux satellites va rester constante, on va essayer de comprendre ça ensemble. Comment est-ce qu'on va pouvoir faire pour résoudre cette question ? On va en premier s'intéresser au deuxième satellite, c'est le plus simple puisque c'est celui qu'on a déjà étudié dans la vidéo précédente. Ce satellite subit un champ gravitationnel G2 qui est dirigé uniquement selon N, qui est ce vecteur unitaire là. L'accélération de ce satellite, c'est aussi G2, elle est égale à G2 portée par le vecteur unitaire N. Le mouvement de ce satellite est supposé circulaire, et donc son accélération, c'est V2 sur RZ RT, c'est un T ici, RT plus Z, plus DV2 sur DT porté par mon vecteur tangentiel. Sauf que par unicité de l'accélération, on a écrit A2 ici et ici avec deux expressions différentes, on voit que le terme qui est porté par mon vecteur tangentiel doit être nul, donc DV sur DT égale 0, et donc mon accélération dépend que de N, et ma vitesse est constante. C'est ce qu'on a fait dans la vidéo précédente. Donc mon mouvement est circulaire uniforme, et c'est ça qui est important. Sauf que maintenant, si on s'intéresse au premier satellite, on va voir que son mouvement n'est pas circulaire uniforme. En effet, il subit un champ gravitationnel G1, qui est G1N porté par N plus G1T porté par T. Avec G1N qui est celui-là et G1T qui est celui-là. Donc son accélération, pareil, elle vaut G1N porté par N plus G1T porté par T. Son mouvement est supposé circulaire, donc on réécrit la même chose avec D1 au lieu D2, et puis par unicité de l'accélération, on va pouvoir identifier G1N à V1² sur RT plus Z et G1T à DV1 sur DT. Donc ma dérivée de ma vitesse par rapport au temps est égale à G1T, et elle n'est pas nulle. Elle est même positive. Donc si elle est positive, c'est dire que ma vitesse est une fonction croissante. Si ma vitesse est une fonction croissante, ça veut dire que mon mouvement est bien circulaire accéléré cette fois. Qui dit mouvement circulaire accéléré, dit que la distance L entre mes deux satellites va augmenter. Ce satellite, il va toujours à la même vitesse, alors que celui-là, il accélère au fur et à mesure. Donc ma distance L entre mes deux satellites augmente. J'espère que tout a été clair. N'hésitez pas à me poser des questions en commentaire si vous en avez, et puis on se retrouve pour une prochaine vidéo.

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