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Somme de VA Espérance Variance

Dans cet exercice, nous avons 300 variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p égal à 0,23. La question est de déterminer la loi de la variable aléatoire x, qui est la somme de ces 300 variables aléatoires.

Pour comprendre cela, nous faisons deux rappels. D'abord, un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Ensuite, nous rappelons qu'une loi binomiale de paramètre np donne le nombre de succès sur n répétitions.

Dans notre cas, x est la somme des 300 variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p égal à 0,23. En sommant ces variables, nous comptons le nombre de succès sur les 300 répétitions. Donc, x suit une loi binomiale de paramètre n égal à 300 et p égal à 0,23.

De plus, nous rappelons que l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale est égale à n fois p. Dans notre cas, n est égal à 300 et p est égal à 0,23, donc l'espérance de x est égale à 69.

Salut à tous, c'est Corentin. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice vraiment important à maîtriser puisqu'il traite de la notion fondamentale de somme de variables aléatoires indépendantes suivant toute une loi de Bernoulli de paramètre p. Alors, assez long, comme énoncé, mais vous allez voir que c'est vraiment fondamental et assez simple à comprendre. Alors, cet exercice, quel est-il ? On se donne x1, x2 jusqu'à x300, 300 variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre p est égale à 0,23. Et la question est, quelle loi suit la loi x définie par la somme de ces 300 variables aléatoires de Bernoulli ? Et à partir de là, ce qu'on veut, c'est en déduire x. Alors, ce que je fais, c'est que je vous fais deux rappels. Un rappel d'abord sur ce qu'est un schéma de Bernoulli puisque c'est de ça que se traite l'exercice. Un schéma de Bernoulli, c'est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Enfin, je vais vous faire un second rappel sur ce qu'est une loi binomiale de paramètre np. Et vous allez comprendre pourquoi je le fais, ce rappel. Soit un schéma de Bernoulli pour lequel n est le nom de répétition et p, la probabilité du succès. La loi des variables aléatoires donnant le nombre de succès sur les n répétitions est appelée loi binomiale de paramètre np. Or, x est une somme de 300 variables aléatoires identiques et indépendantes suivant toute une loi de Bernoulli de paramètre p égale à 0,23. En les sommant, on compte le nombre de succès sur les 300 répétitions qu'on va faire. Puisqu'il ne faut pas oublier que x1 jusqu'à x300 sont les mêmes variables aléatoires qui suivent la même loi de Bernoulli. En fait, si on les somme, puisque lors d'un succès, la variabilatoire xi va être égale à 1 et pour un échec, va être égale à 0, on compte le nombre de succès rencontré au cours des 300 tirages qu'on va faire, des 300 expériences qu'on va faire. On déduit donc que x suit une loi binomiale de paramètre n égale 300 et p est égale à 0,23. Je suis vraiment très gentil aujourd'hui, c'est un troisième rappel. Un troisième rappel qui nous dit que l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale, c'est juste égale à n fois p. Dans notre cas, on l'a vu, n égale à 300 et p est égale à 0,23. On en déduit donc que E de x est égale à 300 fois 0,23, qui est égal à 69.

Somme de VA : Bernoulli

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