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Somme de VA Espérance Variance

Dans cette vidéo, nous abordons un exercice de probabilité portant sur la somme de variables aléatoires indépendantes. Plus précisément, l'exercice consiste à tourner une roue de loterie comportant cinq secteurs angulaires égaux plusieurs fois. Chaque secteur a une valeur de points attribuée, soit 300 points pour les deux premiers secteurs, 100 points pour le troisième secteur et moins 400 points pour les deux derniers secteurs.

Nous devons décomposer la variable aléatoire Z, représentant le gain algébrique en points à la fin du jeu, en une somme de variables aléatoires identiques et indépendantes. Ensuite, il nous est demandé de calculer l'espérance de Z, c'est-à-dire la moyenne des gains.

En procédant à cette décomposition, nous identifions que Z est égal à x1 + x2 + x3 + x4, où x1 représente le gain algébrique au premier lancé de roue. Nous déduisons également que les x1 suivent une certaine loi : x1 est égal à 300 avec une probabilité de 0,4, à 100 avec une probabilité de 0,2 et à moins 400 avec une probabilité de 0,4.

Pour calculer l'espérance de Z, nous pouvons utiliser la propriété d'additivité de l'espérance. Ainsi, nous obtenons l'espérance de Z en additionnant l'espérance de chaque x1, x2, x3 et x4. Comme les variables aléatoires suivent la même loi, nous multiplions l'espérance de x1 par 4.

En substituant les valeurs correspondantes, nous trouvons que l'espérance de Z est égale à 4 fois moins 20, ce qui donne moins 80. En d'autres termes, en moyenne, les joueurs perdront 80 euros ou 80 points en jouant à ce jeu.

Salut à tous, c'est Corentin, bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice de somme de variables aléatoires indépendantes suivant toute une mémoire. Alors commençons par la lecture de l'énoncé. Comme d'habitude, pour un exercice de probabilité, l'énoncé est assez long et assez textuel. Je vous conseille de prendre des notes et de surligner les passages importants. Commençons. Une roue de loterie comporte cinq secteurs angulaires égaux. Les deux premiers secteurs valent 300 points, le troisième vaut 100 points et les deux derniers secteurs valent moins 400 points. On fait tourner quatre fois de suite cette roue et on gagne la somme de points obtenues lors des quatre lancées de roues. Z est alors la variable aléatoire donnant le gain algébrique en points à la fin du jeu. On nous demande alors de décomposer Z dans une somme de variables aléatoires identiques et indépendantes puis de calculer l'espérance de Z. Voici un dessin de la roue. On remarque que pour ce secteur-là, on gagne 300 points, pour ce secteur-là, 100 points et pour ce secteur-là, moins 400 points. Et puis moi, ce que j'ai envie de dire, c'est que Z est égal à x1 plus x2 plus x3 plus x4. Z est bien sûr la variable aléatoire donnant le gain algébrique en points à la fin du jeu. Algébrique, ça veut dire que Z peut prendre des valeurs positives comme négatives. Et x1, c'est la variable aléatoire donnant le gain algébrique au ième lancé de roues. À partir de là, les x1, on se rend compte qu'ils suivent toute la loi suivante. x1 vaut 300 avec probabilité 0,4, 100 avec probabilité 0,2 et moins 400 avec probabilité 0,4. À partir de là, le calcul de l'espérance de Z se décompose en espérance de x1 plus x2 plus x3 plus x4. Par l'inarrêté de l'espérance, on a le droit de dire que c'est l'espérance de x1 plus l'espérance de x2 plus l'espérance de x3 plus l'espérance de x4. Ce qui est égal à 4 fois l'espérance de x1 puisque les ici suivent toute la même loi. Or, l'espérance de x est égale à 300 fois 0,4 plus 100 fois 0,2 plus moins 400 fois 0,4. Et ça, ça vaut moins 20. On en déduit donc que l'espérance de Z est égale à 4 fois moins 20 est égale à moins 80. C'est-à-dire, en interprétant un peu, qu'en moyenne, les joueurs vont perdre 80 euros ou 80 points en moyenne en jouant à ce jeu-là.

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