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Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice sur l'inégalité de concentration. D'abord, il explique qu'une urne contient deux jetons marqués "3", deux jetons marqués "5" et un jeton marqué "10". En tirant un jeton de l'urne, on obtient une variable aléatoire X qui représente le nombre obtenu. Corentin détermine ensuite l'espérance de X, qui est égale à 5,2, et la variance de X, qui est égale à 6,56. 

Ensuite, Corentin aborde la question de savoir combien de tirages avec remise peuvent être effectués pour être sûr à 95% que la moyenne des nombres obtenus se situe entre 5 et 5,4. Pour cela, il utilise l'inégalité de concentration. Il vérifie d'abord les hypothèses nécessaires pour appliquer cette inégalité, à savoir que les tirages sont avec remise et que les variables aléatoires sont un échantillon de variances 6,56. 

Corentin définit alors la variable aléatoire moyenne M de cet échantillon et cherche à trouver la valeur de n telle que la probabilité que M-5,2 soit supérieure ou égale à 0,2 soit inférieure ou égale à 0,05. Il utilise l'inégalité de concentration pour trouver une condition suffisante pour cela, à savoir que 164/n soit inférieure ou égale à 0,05. En résolvant cette inégalité, Corentin conclut que si n est supérieur ou égal à 3280, on est sûr à 95% que la moyenne obtenue sera comprise entre 5 et 5,4.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui autour d'un exercice sur l'inégalité de concentration. Commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé. Une urne contient deux jetons sur lesquels figure le nombre 3, deux jetons sur lesquels figure le nombre 5, et un jeton sur lesquels figure le nombre 10. Et dans un premier temps, on tire un jeton dans cette urne et on considère la variable aléatoire X donnant le nombre obtenu. Et on nous demande de déterminer l'espérance de X et la variance de X. Ensuite, on se demande combien de tirages avec remise peut-on effectuer dans cette urne pour être sûr au risque de 5%, autrement dit au seuil de 95%, que la moyenne des nombres obtenus soit strictement comprise entre 5 et 5,4. Commençons tout de suite par la question 1. Moi, ce que j'ai commencé par faire, c'est donner la loi de X. Je sais que la probabilité que X soit égale à 3, c'est 2 sur 5. La probabilité que X soit égale à 5, c'est 2 sur 5. Et la probabilité que X soit égale à 10, c'est 1 sur 5. À partir de là, l'espérance, c'est égal à 3 fois la probabilité que X soit égale à 3, 5 fois la probabilité que X soit égale à 5, et 10 fois la probabilité que X soit égale à 10. On trouve que c'est égal à 5,2. Ensuite, on se rappelle que la variance, c'est la somme des carrés des écarts à la moyenne, autrement dit, la somme des carrés des écarts à l'espérance. Et ça, c'est égal à la probabilité que X soit égale à 3 fois l'écart de 3 à 5,2 au carré, plus la probabilité que X soit égale à 5 fois l'écart de 5 à 5,2 au carré, plus la probabilité que X soit égale à 10 fois l'écart de 10 à 5,2 au carré. Et ça, on trouve que c'est égal à 6,56. Passons maintenant à la question 2. La question 2, en fait, ce qu'on va vouloir faire, c'est appliquer l'inégalité de concentration, mais dans un sens un peu particulier, vous allez voir. Mais avant de pouvoir appliquer l'inégalité de concentration, il faut bien vérifier qu'on se place dans les hypothèses qui nous permettent d'appliquer cette inégalité. Qu'est-ce qu'on remarque ? On remarque que les tirages étant avec remise, la liste des variables aléatoires X1, Xn, donnant le résultat des n tirages successifs, est un échantillon de variables aléatoires, et de variances 6,56. De là, on peut bien appliquer notre égalité de concentration. Soit donc M, la variable aléatoire moyenne de cet échantillon. Et nous, ce qu'on veut trouver, c'est le n, telle que la probabilité que M-5,2 soit supérieure ou égale à 0,2 soit inférieure ou égale à 0,05. Mais ça, l'inégalité de concentration, elle permet de dire quelque chose. Elle nous dit déjà que la probabilité que M-5,2 soit supérieure ou égale à 0,2 est inférieure ou égale à cette quantité-là. En calculant, c'est inférieure ou égale à 164 divisé par n. Autrement dit, si on trouve un n assez grand pour que cette quantité-là soit assez petite de telle sorte qu'elle soit inférieure à 0,05, on aura gagné. C'est exactement ce qu'on dit ici. Une condition suffisante pour que la probabilité que M-5,2 soit supérieure ou égale à 0,2 soit inférieure ou égale à 0,05, c'est que 164 sur n soit inférieure ou égale à 0,05. Et n, je le rappelle, c'est la taille de l'échantillon. C'est exactement sur ça que la question porte. Autrement dit, en résolvant mon inégalité, je trouve que si n est supérieure ou égale à 3280, on est sûr au risque de 5% que la moyenne obtenue sera comprise entre 5 et 5,4.

Concentration et taille d'échantillon

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