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Corrigés de BAC

Bac Physique-Chimie

Polynésie 2 

Dans cet exercice, nous étudions la planète Mercure et la sonde Messenger. La première partie concerne la trajectoire de Mercure et nous rappelle la première loi de Kepler, selon laquelle l'orbite de chaque planète est une ellipse dont un des foyers est le Soleil. Nous devons calculer le demi-grand axe de l'orbite de Mercure, en utilisant les informations fournies sur la distance au Soleil (0,31 à 0,47 UA). 

Ensuite, nous devons appliquer la deuxième loi de Kepler, selon laquelle une planète balaie des aires égales pendant des durées égales. Nous devons déterminer dans quelle partie de sa trajectoire Venus atteint la vitesse de 39 km par seconde. Nous pouvons le déterminer en observant la taille des aires balayées par Mercure à différents endroits de son orbite.

Enfin, nous examinons la trajectoire de la sonde Messenger autour de Mercure. Nous devons appliquer le principe fondamental de la dynamique en utilisant l'expression de la force gravitationnelle et les données fournies sur la période de révolution de la sonde (8 heures) et l'altitude au plus près de la surface (200 km). Nous pouvons ensuite isoler la masse de Mercure en utilisant l'accélération mesurée.

En appliquant les lois de Kepler au mouvement de la sonde Messenger, nous pouvons calculer la valeur du demi-grand axe de l'orbite et comparer cela à la réalité. Nous constatons que la trajectoire de la sonde n'est pas circulaire, ce qui explique pourquoi le demi-grand axe est plus grand que la somme du rayon de Mercure et de l'altitude de la sonde.

Cet exercice nous permet d'étudier la gravitation, les lois de Kepler et le principe fondamental de la dynamique.

Salut, c'est Leïla. Aujourd'hui, on va faire un exercice sur la planète Mercure. Donc cet exercice, c'est l'exercice B du sujet Polynésie de 1022 jour 2. Donc c'est un des exercices que vous pouvez faire au choix. Ici, on va corriger les trois et donc c'est un exercice qui porte plutôt, comme vous vous en doutez, sur tout ce qui est force centrale, études de trajectoire, loi de Kepler, loi de Newton, gravitation, etc. Donc je vous conseille toujours de regarder assez rapidement lequel des exercices peut correspondre aux thématiques sur lesquelles vous vous sentez les plus à l'aise. Et à partir de là, il ne faut pas non plus trop y réfléchir, vous vous lancez dans la résolution. Donc on vous parle rapidement de la planète Mercure. On dit qu'elle est mal connue, proche du Soleil. On vous donne sa distance au Soleil, on vous dit qu'elle varie, donc de 0.31 à 0.47 UA. UA, on vous le met ici, c'est l'unité astronomique, donc c'est une distance. Et on vous donne la vitesse orbitale de Mercure, 47 km par seconde. Et il y a des valeurs extrêmes qui dépendent de l'endroit où on est sur la trajectoire. Ça, ce sera la première partie du sujet. Et dans un deuxième temps, on regardera la sonde Messenger qui gravite autour de Mercure et qui permet de l'étudier. Donc tout d'abord, étude de la trajectoire. On dit énoncer la première loi de Kepler, qu'on appelle loi des orbites. En général, vous connaissez la loi de Kepler, mais vous ne vous souvenez pas trop laquelle est la première, laquelle est la deuxième, etc. Donc la première loi de Kepler, c'est la plus simple. Elle dit que si on se place dans le référentiel du Soleil, qui est aussi appelé le référentiel héliocentrique, l'orbite de chaque planète est une ellipse. Et vous savez qu'une ellipse, grosso modo, je vais un peu vite, mais c'est un cercle avec deux centres, où vous savez comment on peut la tracer. Et donc ces deux centres, entre guillemets, ne s'appellent pas des centres, mais s'appellent des foyers. Donc dans ce cas-là, un des foyers est le Soleil. Donc il y a deux choses importantes ici, c'est l'ellipse et un des foyers est le Soleil. En vous appuyant sur le schéma réalisé et sur les informations tirées du texte, montrez que par un calcul simple, que le demi-grand axe vaut 0,39 UA. Alors là, on vous dit que la distance au Soleil varie de 0,31 à 0,47 UA. Alors je vous refais ici le schéma d'une ellipse. C'est pas du tout une ellipse. Voilà, ça c'est une ellipse. Ça, c'est le grand axe. Donc ça ici, c'est le demi-grand axe, donc on appelle A. Et ça, c'est le demi-petit axe. Vous voyez ce que c'est le grand axe. Et donc là, qu'est-ce que j'ai ? Moi j'ai un des foyers qui va s'appeler F et l'autre qui va être le Soleil. Donc a priori, qu'est-ce qui va se passer pour moi ? J'ai d'un côté la distance Mercure-Soleil qui est comme ça, qui est la plus petite, donc si jamais Mercure est là. Et si elle est de l'autre côté, la distance Mercure-Soleil va être la plus grande. Et donc dans ces cas-là, moi ici, je vais vous mettre d'une autre couleur, je vais avoir la plus petite distance, donc qui est du petit L, et là je vais avoir la plus grande distance avec le Soleil qui est du grand L. Donc je vois très bien avec ce schéma que deux fois le demi-grand axe, c'est petit L sur grand L. Et donc dans ces cas-là, je vois que A, c'est petit L plus grand L sur 2. Donc ça me donne 0.39 UA. Énoncer la deuxième loi de Kepler, dite loi des aires. Appliquer cette loi pour déterminer dans quelle partie de sa trajectoire Venus atteint la vitesse de 39 km par seconde. La deuxième loi de Kepler, elle dit qu'une planète balaie des aires égales pendant des durées égales. Donc ça peut avoir l'air un peu compliqué comme ça, donc il faut tracer un peu cette ellipse. Et donc là, je vais avoir une certaine aire, on peut dire que c'est la même aire que celle-là, c'est juste pour le schéma, c'est pas spécialement précis. Donc a priori, elle va balayer cette aire pendant une distance delta t, et là pendant une distance delta t qui est égale. Donc vous voyez que ce qui est important ici, c'est les longueurs. Vous voyez que du coup, à cet endroit-là, au point 2, vous allez avoir une longueur plus petite pendant le même temps, alors que là, vous allez balayer une plus grande longueur. Qu'est-ce que ça veut dire pour moi ? Ça veut dire que si je balaie une plus grande longueur pendant le même temps delta t, a priori, c'est que je vais plus vite. Donc par rapport au schéma que j'ai fait ici, V1 est plus grand que V2. Et donc je vois, je peux faire ce schéma à plusieurs endroits, ça pose pas de problème, mais là, c'est l'écat limite, et donc je vois que quand je suis plus proche du soleil, a priori, c'est là où je balaie le plus vite, parce que c'est là où l'air qui va entourer ce point-là va être la plus petite. Donc la vitesse de Mercure, elle est plus petite au point le plus éloigné du soleil, qui va être ce point-là, grosso modo. Et donc a priori, c'est là qu'elle est uniquement de 39 km par seconde, c'est la plus petite vitesse qu'on nous ait donnée. Ensuite, on nous dit donner les significations des longueurs grand t et petit a pour Mercure, à l'aide des données utiles et de la troisième loi de Kepler, justifie que cette planète parcourt l'ensemble de son orbite en un peu moins de trois mois. Vous voyez, on a vu la première loi, la deuxième loi de Kepler, maintenant c'est le coup de la troisième loi. En général, c'est celle que vous manipulez le plus. Donc dans cette loi, T, c'est la période de révolution autour du soleil, et A, c'est le demi-grand axe de l'orbite. Vous connaissez particulièrement, et c'est le cas dans lequel vous devez savoir démontrer la loi de Kepler, le cas où j'ai une trajectoire circulaire, et dans ce cas, A, le demi-grand axe, c'est l'équivalent du rayon. La troisième loi de Kepler, elle nous dit que T² sur A3, je corrige, que T² sur A3, c'est une constante, petit k, et du coup ça me donne que T ferré comme racine carrée de A3. Donc là, je peux regarder ce qui se passe pour moi. Ici, je vais avoir l'expression de A, l'unité astronomique, et je trouve que T, comme on me donne k, c'est à peu près 88 jours. 88 jours, un mois, c'est 30 jours. Donc là, on est à peu près de trois mois, on est à peu près sur une période de révolution de trois mois terrestres. Ensuite, on étudie la trajectoire de la sonde Messenger. Donc là, on part dans un autre sujet. Donc on dit que la sonde, elle a effectué un de ses orbites avec une période de révolution TS qui est égale à 8 heures, et au plus près de la surface de la planète, la tiltude H est égale à 200 km. On me donnait son accélération qui évaluait 3,15 mètres par seconde moins 2. Et on imagine que cette accélération, c'est uniquement l'accélération gravitationnelle de Mercure. Donc là, c'est une partie un peu plus sur la gravitation, on va devoir faire de la mécanique, appliquer le principe fondamental de la dynamique, etc. Ici, on nous rappelle l'expression de la force gravitationnelle exercée par un corps A sur un corps B de masse respective M A et M B. C'est une formule que vous connaissez bien normalement. Et donc, la première chose qu'on demande ici, c'est de reproduire le schéma et de faire apparaître les différentes distances. Donc là, c'est fait surtout pour vous aider dans la mesure où ça va vous aider après pour faire le reste de l'exercice. Donc moi, je n'ai pas reproduit l'échéma, j'ai un peu triché, j'ai fait directement sur l'énoncé ici, c'était plus simple. Donc là, vous voyez, j'ai tout simplement placé les distances, le rayon, la hauteur. Petit r, c'est l'altitude plus le rayon. Et même chose pour les vitesses. La vitesse, elle est dans cette direction-là. Et l'accélération, comme on vous dit qu'elle est uniquement due à la gravitation, elle est dans la même direction que la force d'interaction gravitationnelle. On vous dit ensuite d'énoncer la seconde loi de Newton et l'appliquer au système messenger dans le référentiel mercurocentrique. Donc ça, ça veut dire le référentiel centrimercure qu'on considère galiléen. Tout ça, vous connaissez, j'ai détaillé rapidement le système. Et donc, la loi de Newton, c'est la somme des forces qui est égale à masse fois l'accélération. Donc pour moi, la somme des forces, j'ai uniquement la force d'interaction gravitationnelle qui est GMS grand M sur R carré selon U. Et donc, en exprimant ce que c'est R, parce que R, c'est la distance au centre de Mercure, donc je dois voir le rayon de Mercure, et ensuite je dois voir l'altitude. Vous voyez, comme on le voit ici, d'abord le rayon et ensuite l'altitude en plus. Donc ça, ça me fait mon R. Et donc, j'obtiens que AS, c'est grand G grand M sur RM plus H, le tout au carré, porté par U. On dit ensuite, à l'aide des données utiles, montrer que la valeur de l'accélération mesurée à l'altitude H permet d'attribuer à cette planète Mercure une certaine masse grand M. Donc si je connais l'accélération, il me suffit d'isoler la masse. Donc si j'isole la masse, ça me donne cette expression-là. Et j'ai évidemment oublié le carré. C'est juste un produit en croix, et donc je trouve une masse de 3,29 fois 10 puissance 23 kg, ce qui est raisonnable évidemment pour une planète. Ensuite, on nous dit que les lois de la gravitation ont permis à Newton d'établir l'expression de la constante de Kepler. Donc la constante de Kepler, hop, qu'est-ce que c'est ? C'est ce fameux K que vous savez démontrer dans le cas où on est circulaire. Et donc, c'est ce qu'on va essayer de faire ici. Donc, on applique la troisième loi de Kepler au mouvement de la sonde Messenger, et on calcule la valeur du demi-grand axe de l'orbite. Et on doit expliquer aussi pourquoi la trajectoire de la sonde ne peut pas être considérée comme circulaire. Donc d'abord, on imagine que tout est circulaire. On applique la loi de Kepler qu'on connaît, T2 sur A3, c'est 4pi² divisé par grand GM. Ça, il faut savoir le redémontrer dans le cas où on est circulaire, mais là, je la donne comme ça. Vous savez, vous pourrez vous référer à vos cours pour cette démonstration-là. Donc, ça me donne l'expression de A3, ici, et j'ai juste à isoler A, ce qui me donne racine cubique de T² grand GM sur 4pi². Et donc, avec tout ça, j'ai tout ce qu'il me faut, et je trouve que A, c'est 7,73 fois 10 puissance 3 km. Ça, c'est dans le cas où on est circulaire. Ensuite, là, il faut essayer de comparer à ce qu'on a en réalité. Donc là, ce qu'on voit, c'est que le demi-grand axe est plus grand que le rayon RM plus H. Donc, a priori, c'est pas normal. On devrait avoir RM plus H qui est à peu près égal à A, qu'on trouve avec la loi de Kepler. Donc là, ça veut dire que la trajectoire n'est pas circulaire. C'est ça qui nous demande de justifier, ici. Et c'est la fin de cet exercice. J'espère qu'il vous aura été utile pour voir la gravitation, les lois de Kepler, et un tout petit peu le principe fondamental de la dynamique. N'hésitez pas à poser vos questions en commentaire, et on se retrouve bientôt pour faire les autres exercices de ce sujet.

La planète mercure

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