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Bac Physique-Chimie

Amérique Nord 1

Dans cette dernière partie, nous nous intéressons à l'épaisseur du matelas utilisé par un athlète lors d'une réception. Lorsque l'athlète arrive sur le matelas, son centre de masse est animé d'une vitesse initiale VOZ de -10,2 m/s. La composante horizontale de la vitesse est nulle, ce qui signifie que l'athlète arrive verticalement. Le matelas exerce une force constante FT orientée vers le haut afin de limiter les blessures lors de la réception. Pour que l'athlète ne subisse pas une accélération supérieure à 10 fois celle de la gravité, l'accélération maximale est fixée à 10g. En utilisant la seconde loi de Newton, nous démontrons que la valeur de la force FT exercée par le matelas est de 8,52 kN.

Ensuite, nous étudions les équations horaires du mouvement de l'athlète. En prenant l'instant du contact entre l'athlète et le matelas comme origine des temps, nous montrons que les équations horaires peuvent s'écrire sous la forme VZ2t = 10gt + V0Z et Z2t = 5gt² + V0Zt + Zb. Nous utilisons la seconde loi de Newton ainsi que les intégrales pour obtenir ces équations.

Ensuite, nous déterminons la durée de la phase de réception. En considérant que la vitesse verticale de l'athlète est nulle à la fin de la réception, nous calculons TF, le temps auquel la phase de réception se termine. Nous trouvons que TF = -V0Z / (10g), et en utilisant les valeurs données, nous obtenons TF = 104 ms.

Enfin, nous vérifions si l'épaisseur du tapis de réception est suffisante pour éviter les blessures à l'athlète. Nous calculons la profondeur maximale à laquelle l'athlète s'enfonce dans le matelas en évaluant Z2TF. Nous trouvons que Z2TF = 53 cm, ce qui est inférieur à l'épaisseur du matelas de 82 cm. Par conséquent, l'athlète n'est pas blessé par le sol lors de la réception.

Cet exercice de mécanique aborde plusieurs théorèmes importants et est un bon exercice à réviser pour le bac. Nous vous encourageons à le refaire pour renforcer vos connaissances.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette dernière partie d'exercice on va se pencher sur l'épaisseur du matelas. Alors, on considère le repère OXZ représenté sur le schéma précédent, donc je ne l'ai pas remis ici, mais on le garde en tête. Au moment où l'athlète arrive sur le matelas, son centre de masse est animé d'une vitesse V0, dont la composante verticale est VOZ, qui est égale à moins 10,2 mètres par seconde, donc là on vérifie déjà que le résultat qu'on a obtenu à la question précédente est assez cohérent. Alors, on considère que la composante horizontale de la vitesse est nulle, donc il n'arrive que à la verticale, et puis on modélise l'action du matelas sur l'athlète par une force constante FT verticale vers le haut. Pour ne pas provoquer de blessures lors de la phase de réception, le matelas se déforme pour que la valeur de l'accélération subie par le corps de l'athlète ne dépasse pas 10 fois l'accélération de l'apesanteur, soit 10 fois g. En effet, se prendre 10 g dans la tête, ça doit faire sacrément mal. On se place donc dans le cas où l'accélération est maximale, AZ est égale à 10 fois g. Alors, après avoir fait un bilan des forces exerçant sur Armand Dupontis lors de la réception, et en utilisant la seconde loi de Newton, démontrer que la valeur FT de la force exercée par le tapis est égale à 8,52 kN. Donc, encore une fois, on nous indique directement le théorème à appliquer, donc c'est ce qu'on va faire. Par contre, il faut redéfinir le système, puisqu'ici, il y a une nouvelle force qui s'est appliquée. Il faut faire attention à ça. Alors, si on reprend. Premièrement, le système, c'est le centre de masse g, ça, ça ne bouge pas. Le bilan des forces, on a toujours le poids moins mg fois EZ, et on rajoute cette force constante appliquée par le tapis, FT fois EZ. Très bien. Donc, qui est dirigée, bien sûr, vers le haut. En appliquant la seconde loi de Newton, eh bien, on a que la masse fois l'accélération d'Armand Dupontis est égale à la somme des forces. Et donc, à part cela, si on projette sur la direction verticale, qui est la seule direction qui nous intéresse ici, eh bien, l'accélération, on l'a fixée comme maximale, c'est 10 fois g. Donc, 10 fois mg est égale à moins mg, attention au signe ici, plus FT, donc la norme de cette force. Ainsi, on en déduit directement la norme. FT, c'est égale à 11 fois mg, ce n'est pas des milligrammes, c'est m, la masse Dupontis, fois g, l'accélération de pesanteur. Donc, l'application numérique nous donne FT, qui est égale à 8,52 kN. C'est bien la valeur que l'on devait obtenir. Alors maintenant, ces deux, en prenant l'instant du contact entre l'athlète et le tapis comme origine des temps, et en se plaçant dans le repère OXZ, montrer que les équations horaires du mouvement de l'athlète s'écrivent de la manière suivante. VZ2t est égale à 10 fois g, fois t, plus V07. Et Z2t est égale à 5 fois g, fois t², plus V0z, plus fois t, plus Zb. Donc, il s'agit de démontrer les équations horaires du mouvement. Donc pour ça, on se souvient, il faut bien sûr se baser sur la seconde loi de Newton, et en extraire et intégrer par rapport au temps. Qu'est-ce qu'on peut dire ? On a AZ2t qui est égale à 10 fois g. Ça, c'est ce qui a été fixé par l'énoncé, c'est l'accélération maximale, donc elle est constante. Alors comment est-ce qu'on fait pour en revenir à la vitesse ? C'est ça qu'il faut exprimer dans un premier temps. Eh bien, la vitesse en fonction de l'accélération, c'est quoi ? Eh bien, c'est sa primitive. Donc si en primitive, on intègre par rapport au temps, eh bien VZ2t, c'est égale à, eh bien ça c'est une constante, donc ça s'intègre comme une constante, c'est 7 constante fois t, donc 10 fois g fois t, plus attention, vu que l'on l'intègre, on a une constante d'intégration qui apparaît. Eh bien cette constante d'intégration, c'est V0z, puisque lorsqu'à l'instant t égale 0, si on évalue cette expression en 0, eh bien ça, ça disparaît, donc il faut bien que ce soit égal à V0z, la valeur initiale. Très bien, donc on a effectivement l'expression voulue pour la vitesse. Maintenant, comment est-ce qu'on revient à l'altitude en soi ? Eh bien, c'est dans l'autre sens. On intègre encore une fois, puisque la vitesse, c'est tout simplement la dérivée de la position. Donc pour revenir à la position, on intègre. Ici, pour le premier terme, eh bien on intègre t, ça s'intègre en 1,5 fois t², attention bien au 1,5 qu'il ne faut pas oublier, tandis que c'est une constante V0z, donc ça s'intègre comme, en rajoutant un t après, en multipliant par t, donc plus V0z t plus zb. Et donc, on obtient bien, attention encore une fois à la constante d'intégration qui s'évalue lorsque t égale 0, et donc on obtient bien z de t est égal à 5gt² plus V0z t plus zb. C'est bien ce qu'il fallait obtenir dans l'énoncé. Donc voilà, bien retenir que pour les équations du mouvement, eh bien on se base sur l'expression d'accélération, et puis ensuite on intègre. Alors, C3 détermine la durée de la phase de réception. Alors, comment est-ce qu'elle peut s'obtenir ? Eh bien, il faut caractériser en fait cette phase de réception, puisque là, ce que nous permettent ces équations horaires, c'est justement de faire intervenir le temps, maintenant il faut les faire parler, entre guillemets, et faire exprimer le temps à partir duquel la phase de réception est finie. Eh bien en fait, à la fin de la réception, on sait que la vitesse s'annule. La fin de la réception, c'est quand Armand Dupartiste est maintenant immobile, il a fini de se réceptionner, le matelas a fini de restituer son énergie. Donc, à la fin de la réception, on sait que la vitesse verticale est donc égale à 0, donc on note TF, ce temps particulier pour lequel, à l'instant duquel, la vitesse est égale à 0, donc la phase de réception est terminée. Alors, par définition, on a donc Vz de TF qui est égale à 0, or Vz de T, on a aussi exprimé de manière littérale. Donc on va aussi l'évaluer dans ce temps-là, juste ici, ça nous donne donc 10G fois TF plus Vz0. Et donc, à partir de là, on en déduit TF, on l'isole, c'est moins V0z divisé par 10G. Et là, on a toutes les informations dont on dispose, on a bien répondu à la question, et donc l'application numérique nous donne un temps final de 104 millisecondes, c'est en fait la durée de la phase de réception. Maintenant, le tapis de réception a une épaisseur de 82 cm, il faut montrer que cette épaisseur est suffisante pour que l'athlète ne soit pas blessé par le sol. Et donc pour ça, il faut vérifier quelle est la profondeur maximale dans laquelle s'enfonce Armand Dublantis, et vérifier qu'elle est bien inférieure à 82 cm, puisque sinon, ça veut dire qu'il a traversé toute l'épaisseur du matelas et qu'il se retrouve au sol, et donc qu'il va être blessé. Donc, pour déterminer la profondeur maximale auquel plonge l'athlète, il s'enfonce pour Z2TF qui est égal à 5GTF² plus V0TF plus ZB. En fait, ça correspond à la fin de la phase de réception, c'est là où il se situe au plus profond du matelas. Et donc, en évaluant, ici, Z2TF, c'est égal à 53 cm, et donc c'est bien inférieur à l'épaisseur du matelas en question, c'est bien inférieur à 82 cm. Donc, l'athlète n'est pas blessé par le sol, on vient de le vérifier juste ici, et c'est tant mieux vu que c'est l'objectif du matelas. Voilà, c'est la fin de cet exercice de mécanique très intéressant qui balaie de nombreux théorèmes. Il est très intéressant à reprendre si vous voulez réviser pour le bac, aussi un peu d'algorithmique au début. Donc, je vous invite à refaire cet exercice, puis je vous dis à bientôt pour la suite de cette anal.

L’épaisseur du matelas du saut à la perche (3)

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