Continuité vs dérivabilité

Ce cours explique le lien entre dérivabilité et continuité. Il démontre que si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point. Cependant, le contraire n'est pas vrai. La démonstration utilise la définition de la dérivabilité d'une fonction f en un point A, qui donne la limite du taux d'accroissement de f quand x tend vers A. En utilisant cette expression, on peut isoler f de x et prendre la limite quand x tend vers A. Cela conduit à la conclusion que la limite de f de x quand x tend vers A égale f de A, ce qui est la définition de la continuité en ce point. Il est également souligné que la définiabilité n'implique pas la continuité, et la continuité n'implique pas la dérivabilité. Des exemples de fonctions non dérivables mais continues sont donnés, tels que la racine carrée en 0 et la valeur absolue. En résumé, l'ensemble des x où la fonction est dérivable est inclus dans l'ensemble des x où la fonction est continue, qui est lui-même inclus dans l'ensemble des x où la fonction est définie.