Prolongement par Continuité

Le prolongement par continuité est utilisé lorsque nous avons une fonction qui n'est pas définie en un point, mais dont la limite existe et est finie. Dans ce cas, nous pouvons prolonger la fonction en ce point en posant sa valeur égale à la limite de la fonction lorsque x tend vers ce point. Par exemple, si nous avons une fonction f(x) = x/x, qui n'est pas définie en 0, nous pouvons prolonger la fonction en posant f(0) = 1, ce qui rend la fonction définie et continue en ce point. Dans l'exercice présenté, nous avons une fonction f(x) = x*sin(1/x), qui est définie pour toutes les valeurs de x sauf en 0 à cause du terme 1/x. Nous devons vérifier si cette fonction est bien un prolongement par continuité. En traçant la fonction sur une calculatrice, nous constatons qu'elle semble se rapprocher de 0 en 0. Pour le prouver, nous utilisons l'encadrement du sinus (qui est compris entre -1 et 1) en multipliant la fonction par la valeur absolue de x. En utilisant le théorème de l'encadrement, nous démontrons que la limite de la fonction est bien égale à 0. Ainsi, nous prouvons que la fonction f(x) = x*sin(1/x) est un prolongement par continuité avec f(0) = 0. C'est donc une méthode utilisée pour prolonger une fonction définie sur un ensemble de valeurs à un point où elle n'est pas définie, en la rendant continue. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à les poser dans la FAQ.