Continuité et suites 1

Dans cette vidéo, nous étudions la méthode pour calculer la limite d'une suite définie par récurrence. Nous examinons les hypothèses nécessaires pour trouver et justifier correctement la limite. Nous utilisons la suite spécifique définie par u0 = 1 et un+1 = u*n – 1. Il est important de noter que la convergence peut dépendre du premier terme de la suite. Si une suite définie par récurrence du type un+1 = f(un) converge vers une limite L, alors un+1 converge également vers L. Pour trouver la limite, nous prenons la limite de l'égalité un+1 = f(un) en passant à la limite des termes. Nous obtenons l'équation f(L) = L, où L est un point fixe solution de cette équation. Cependant, cette méthode n'est valable que si la fonction f est continue. Il est essentiel de justifier la continuité dans cette méthode. Nous admettons dans l'énoncé que la suite converge vers L, et cela nous permet de supposer qu'elle a un point fixe, qui est l'unique limite possible. La représentation graphique de la suite en escalier converge vers 0, mais il est crucial de noter que la convergence dépend du premier terme u0. Si u0 est négatif, la suite divergera vers moins l'infini. Donc, u0 doit être positif pour que la suite converge. Il est également important de souligner que si la fonction f2x = x*e^2-x est discontinue, cette méthode ne fonctionne pas. Nous illustrons cela avec une fonction constante qui change brusquement en un point a. Dans ce cas, nous trouvons une suite spécifique qui converge vers a sans jamais atteindre a. Cette fonction n'est pas continue car la limite de f(un) est différente de f(L), où L est la limite de la suite. Ainsi, la continuité est essentielle dans cette méthode pour trouver et justifier correctement la limite.