Continuité et Suites 2

Ce cours traite de la méthode pour étudier la limite d'une suite définie par récurrence. Tout d'abord, la suite est associée à une fonction f telle que un+1 = f(un). La première étape est donc d'étudier la continuité de f, car elle sera nécessaire pour la suite du traitement. Ensuite, on résout l'équation f(x) = x pour trouver les éventuelles limites de la suite. Ensuite, on étudie la dérivabilité de la fonction f et sa croissance sur les intervalles où elle est définie. Il est important de noter que f peut ne pas être définie sur certains intervalles, ce qui peut impacter son comportement. Ensuite, on applique le principe de récurrence pour démontrer certaines propriétés de la suite, telles que son ordre de croissance et le fait qu'elle soit bornée. En utilisant ces propriétés, on peut conclure que la suite converge vers une limite L. Enfin, on utilise la continuité de f pour montrer que cette limite est également une solution de l'équation f(x) = x. La continuité de f est cruciale pour s'assurer que la limite recherchée appartient à l'ensemble des solutions de cette équation. En résumé, ce cours explique comment trouver la limite d'une suite définie par récurrence en étudiant la fonction associée, ses propriétés de continuité et de croissance, ainsi que l'application du principe de récurrence.