TVI et expo

Dans cette leçon, nous étudions le nombre de solutions de l'équation E-x² = E2x-1. Graphiquement, nous avons représenté les deux fonctions E-x² et E2x-1. La première est une courbe en cloche symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, tandis que la deuxième est une fonction exponentielle décalée de 1 vers le bas. En examinant le graphique, nous observons qu'il y a une solution autour de 0.552. De plus, pour les nombres négatifs, la fonction E-x² est toujours supérieure à la fonction E2x-1, tandis que pour les nombres positifs, il y a un point d'intersection où les deux fonctions se croisent. Afin de démontrer mathématiquement ces observations, nous séparons l'étude en deux cas : R- (les nombres négatifs) et R+ (les nombres positifs). Pour les nombres négatifs, nous montrons que la fonction E-x² est strictement supérieure à la fonction E2x-1, en utilisant le fait que E2x-1 est négatif. Ainsi, il n'y a pas de solution à l'équation pour les nombres négatifs. Ensuite, pour les nombres positifs, nous étudions la fonction f2x = E-x² - E2x-1. Nous montrons que cette fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [0, +∞] en utilisant les propriétés des fonctions exponentielles. Nous montrons également que la limite de f2x quand x tend vers +∞ est -∞. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, nous concluons qu'il existe une unique solution à l'équation pour les nombres positifs. En résumé, il n'y a pas de solution à l'équation pour les nombres négatifs, et il y a une unique solution pour les nombres positifs.