TVI et calculs costauds !

La fonction f(x) = 2/(e^x + e^(-x)) est étudiée. Premièrement, on remarque que la fonction est toujours strictement positive car elle est une somme d'exponentielles positives. Ainsi, on peut exclure le cas où la fonction serait égale à 0. Ensuite, on analyse graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x) = x. On trace la fonction et on observe qu'il y a une unique solution. Pour montrer que la fonction g définie comme g(x) = f(x) - x est décroissante, on cherche d'abord si elle peut être décomposée en une somme de fonctions décroissantes. Cependant, on constate que f(x) n'est ni strictement croissante ni strictement décroissante, ce qui complique l'analyse. On est donc obligé de passer par le calcul des dérivées. On dérive f(x) en utilisant une formule et en simplifiant, on obtient une expression à partir de laquelle on peut évaluer le signe de la dérivée. Après une simplification et l'observation d'une identité remarquable, on arrive à exprimer g'(x) comme une somme de termes dont on peut déterminer les signes. On remarque que g'(x) est toujours négatif, ce qui montre que g(x) est décroissante. En conclusion, on peut dresser un tableau de variation simplifié pour la fonction g : elle est décroissante, continue et admet un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses. Le nombre de solutions de l'équation f(x) = x est donc égal à 1.