Dérivabilité avec valeur absolue ?

Dans cet exercice, nous devons démontrer que la fonction donnée est continue et dérivable sur R, à l'exception du point x=0. Tout d'abord, nous commençons par vérifier que la fonction est définie sur R. En effet, peu importe la valeur de x, 1+x est strictement différent de 0, ce qui nous permet d'avoir une définition valide de la fonction. De plus, nous savons que le quotient de deux fonctions continues donne une fonction continue. Pour démontrer la continuité de la fonction, nous utilisons une calculatrice pour tracer son graphique et constatons qu'elle semble se rapprocher de 1 quand x tend vers l'infini et de -1 quand x tend vers moins l'infini. La fonction semble également relativement lisse, sans rupture de pente, ce qui soutient notre intuition de continuité. En ce qui concerne la dérivabilité de la fonction, nous supposons qu'elle est dérivable en x=0, car elle est clairement dérivable pour tous les autres points de R. En effet, x est dérivable sur R et 1+x en valeur absolue est dérivable partout sauf en 0. S'appuyant sur cette hypothèse, nous concluons que la fonction est dérivable sur tout R, à l'exception de x=0. Pour déterminer l'expression de la fonction en fonction du signe de x, cela est relativement simple. En vérifiant le comportement de la fonction en x=0, nous constatons qu'elle est bien continue, ce qui confirme notre expression. Enfin, pour justifier que la fonction est dérivable partout, sauf en x=0, nous utilisons le fait que x est dérivable et que le quotient de deux fonctions dérivables donne une fonction dérivable. Nous effectuons les calculs nécessaires pour dériver la fonction en x=0 et vérifions que le résultat est cohérent de chaque côté de ce point. Nous constatons que les dérivées de chaque côté de x=0 sont égales à 1, confirmant ainsi la dérivabilité de la fonction. En conclusion, nous démontrons que la fonction donnée est continue sur R et dérivable partout, sauf en x=0.