Un classique de BAC : étude de fonction en 2 temps

L'exercice consiste à étudier deux fonctions, G(x) et F(x), en calculant leurs limites aux bornes de leur ensemble de définition et en dressant un tableau de variation. Pour étudier G(x), on remarque que la dérivée de F(x) est similaire à la fonction G(x) donnée. On calcule donc la dérivée de F(x) et on l'étudie. On remarque que la dérivée de F(x) est toujours négative sur R+*, tandis que G(x) est positive avant un certain point et devient négative après ce point. En calculant les limites de G(x) aux bornes de son ensemble de définition, on trouve que G(x) tend vers 1 en 0+ et tend vers moins l'infini en +infini. En ce qui concerne F(x), on calcule les limites aux bornes de son ensemble de définition et on trouve que F(x) tend vers moins l'infini en 0 et tend vers 0 en +infini. En analysant la dérivée de F(x), on remarque que F'(x) a le même signe que G(x), ce qui nous permet de déterminer les variations de F(x) dans le tableau de variation. On complète le tableau en indiquant que la limite de F(x) est moins l'infini en moins l'infini et 0 en 0+. De plus, on détermine qu'il existe une unique solution à l'équation F(x) = 0. En résumé, cet exercice consiste à analyser les fonctions G(x) et F(x), à calculer leurs limites aux bornes de leur ensemble de définition et à dresser un tableau de variation pour chacune des fonctions.