Primitives : condition initiale

Cet exercice porte sur la vérification des primitives d'une fonction présentée, ainsi que la détermination de l'ensemble des primitives et d'une condition initiale. La fonction f est donnée par f(x) = 3x² + 1/x. La première question consiste à vérifier si la fonction F, proposée comme x³ + ln(x), est une primitive de f. Pour cela, il suffit de dériver F et de voir si on obtient f. En dérivant, on obtient bien f(x). Donc F est une primitive de f. Cependant, il faut noter qu'il existe une infinité de primitives, définies à une constante additive près. Dans la deuxième question, on cherche à déterminer l'ensemble des primitives de F et à trouver celle qui prend la valeur 0 en E. Les primitives de F sont de la forme F(x) = x³ + ln(x) + K, où K est une constante réelle. Pour trouver la primitive qui s'annule en E, on utilise la condition initiale F(E) = 0. En substituant E dans F, on obtient l'équation K = -1 - E³. Ainsi, la primitive de F qui s'annule en E est F(x) = x³ + ln(x) - 1 - E³. Cet exercice introduit les méthodes sur les primitives, qui sont utiles pour la résolution des équations différentielles. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à consulter la FAQ.