Primitive et réécriture

Dans ce cours, nous étudions une fonction définie par f2x = x + log(4) + 2/(e^(2x) + 1). Nous commençons par analyser cette fonction pour essayer de trouver une expression de primitive facile à détecter. Nous calculons la limite de la fonction lorsque x tend vers l'infini et nous obtenons 0. Pour x tendant vers moins l'infini, la limite est de 2. Ensuite, nous étudions le sens de variation de la fonction et dressons le tableau de variation. Nous montrons que la fonction est dérivable sur R et nous calculons sa dérivée f'2x. En analysant le signe de cette dérivée, nous concluons que f'2x est toujours positif. Par conséquent, la fonction f2x est croissante sur l'ensemble des réels. Pour déterminer les primitives de la fonction, nous remarquons que x et log(4) sont communs dans les différentes expressions de la fonction. Nous obtenons donc une primitive sous la forme x²/2 + (2 + log(4))x. De plus, nous reconnaissons une expression de la forme -2(e^(2x)/(e^(2x) + 1)), que nous pouvons intégrer en utilisant le logarithme. Nous obtenons ainsi une expression de primitive de la forme logarithme de (e^(2x) + 1) + K, avec K appartenant à R.