Divisibilité de n⁵-n ?

Ce cours porte sur la factorisation d'une expression mathématique. L'objectif est de démontrer que l'expression, a^n = n^5 - n, est divisible par certains nombres tels que 2, 3 et 5. Pour commencer, l'instructeur suggère de simplifier l'expression en la factorisant dès le début. En factorisant par n, l'expression devient n * (n^4 - 1). Il est également possible de reconnaître une identité remarquable, n^4 - 1 = (n^2 - 1) * (n^2 + 1). Ainsi, l'expression peut être réécrite comme n * (n^2 - 1) * (n^2 + 1). Ensuite, pour démontrer que a^n est pair, l'instructeur utilise le fait que le produit de deux entiers consécutifs sera toujours divisible par 2. Puisque n, n-1 et n+1 sont des entiers consécutifs, cela garantit que a^n est pair. Pour démontrer que a^n est divisible par 3, l'instructeur fait remarquer que parmi les entiers consécutifs n-1, n et n+1, il y en aura toujours un qui sera un multiple de 3. Par conséquent, leur produit, a^n, sera également divisible par 3. Enfin, pour démontrer que a^n est divisible par 5, l'instructeur utilise une table de congruence. Il montre que pour chaque valeur de n (0, 1, 2, 3, 4), le produit n * (n-1) * (n+1) * (n^2 + 1) est congruent à 0 modulo 5. Ainsi, cela prouve que a^n est divisible par 5. En conclusion, l'approche de factorisation dès le début permet de simplifier les démonstrations et de trouver rapidement les diviseurs de l'expression. Cette méthode d'investissement initial facilite l'ensemble des questions posées dans cet exercice.