Reste de 5³ⁿ - 6ⁿ par 17 ?

Dans cet exercice, nous devons trouver le reste de la division Euclidienne de "5 puissance 3n moins 6 puissance n" par 17. Pour cela, nous pourrions créer des tables de congruence pour les valeurs de 5 et de 6 pouvant être élevées à des puissances (3n et n respectivement) et les comparer avec le modulo 17. Cependant, il est préférable d'analyser les deux éléments de la différence séparément pour voir s'il y a quelque chose de plus simple qui se passe. Nous avons donc le calcul de "5 puissance 3n" qui peut être simplifié en utilisant la propriété que si A est congru à B, alors A puissance M est congru à B puissance M. Donc, nous pouvons simplifier 125 à l'aide du modulo 17 en enlevant les paquets multiples de 17. Par exemple, nous pouvons enlever 102, puis 102 plus 17 jusqu'à ce que nous atteignions un nombre proche de 125. Ensuite, nous comparons "5 puissance 3n moins 6 puissance n" avec 0, nous remarquons que les deux éléments sont congrus entre eux modulo 17. Par conséquent, nous pouvons conclure que 17 divise toujours cette différence. En résumé, pour trouver le reste de la division Euclidienne de "5 puissance 3n moins 6 puissance n" par 17, nous avons réalisé une analyse des congruences en simplifiant les valeurs utilisant le modulo 17 et en comparant les éléments de la différence. Nous avons conclu que 17 divise toujours cette différence.