Un entier toujours impair ?

Dans cet exercice, nous devons démontrer que la quantité 3n4 + 5n1 est impaire pour tout n. Nous appelons cette quantité "n" pour la suite de la question. Nous devons également en déduire que ce nombre n'est jamais divisible par n(n+1). Pour commencer, nous pouvons remarquer que n(n+1) évoque les notions de sommes d'entiers jusqu'à n et de produits de deux nombres consécutifs. La somme des entiers jusqu'à n est égale à n(n+1)/2, ce qui peut nous aider à aborder le problème. De plus, un produit de deux nombres consécutifs inclut toujours un nombre paire. En utilisant ces réflexes, nous pouvons dire que si n(n+1) divise n, alors 2 divise n. Cependant, si n est impair, alors ce n'est pas possible. Donc, grâce à cette réflexion, nous pouvons conclure que n(n+1) ne divise jamais n. Maintenant, nous nous concentrons sur le fait que n doit être impair. Puisque nous avons une addition de 1 à la fin de la quantité, nous pouvons la simplifier en disant que si n est impair, alors en enlevant 1, n devient pair. Donc, montrons plutôt que la quantité n que j'appelle "a" est paire. Pour cela, nous factorisons n en 3n3 + 5. Nous pensons à une possible décomposition de 2k pour n. Il peut être 2k, 2k+1 ou 2k+2. Cependant, nous devons considérer la division paire-impair. Si n est pair, alors a est pair et la démonstration est terminée. Si n est impair, nous pouvons écrire n congru à 1 modulo 2. Dans ce cas, nous remarquons que n³ est aussi congru à 1 modulo 2, donc 3n³ est congru à 3 modulo 2 (car 3 modulo 2 est égal à 1). En ajoutant 5, nous obtenons 0, ce qui signifie que si n est impair, 3n³ + 5 est pair. En conclusion, si n est pair, a est pair, et si n est impair, a est pair. Par conséquent, a n'est jamais divisible par n(n+1) car il est pair tandis que n(n+1) contient un multiple de 3 et donc de 6. Voilà, c'est la fin de cet exercice. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser dans les commentaires. À bientôt pour une autre vidéo !