5²ⁿ, 2²ⁿ ... et des congruences !

Dans cet exercice de congruence, nous devons déterminer quand l'expression 145 puissance 2022 modulo 17 est divisible par 3. Tout d'abord, nous simplifions en se concentrant sur les congruences de 5 puissance n modulo 3. Nous remarquons que 5 puissance n est congruent à 2 puissance n modulo 3. De plus, nous observons que 5 puissance 2n est congruent à 4 puissance n. Ainsi, nous pouvons simplifier en disant que 5 puissance 2n est toujours congruent à 1. Ensuite, nous examinons la somme de 5 puissance 2n, 5 puissance n et 1 modulo 3. Cette somme est congruente à 2 puissance n plus 2. En analysant le tableau de congruence de 2 puissance n, nous constatons que si n est pair, alors 2 puissance n est congruent à 1. En résumé, l'expression 145 puissance 2022 modulo 17 est divisible par 3 si et seulement si n est pair. Dans un deuxième exercice similaire, nous devons déterminer quand l'expression 2 puissance 2n plus 2 puissance n plus 1 est divisible par 7. Nous simplifions cette expression en utilisant les congruences de 4 puissance n et 2 puissance n. Le tableau de congruence de 4 puissance n nous montre que si n est multiple de 3, alors 4 puissance n est congruent à 1. De même, le tableau de congruence de 2 puissance n indique que si n est multiple de 3, alors 2 puissance n est congruent à 1. En conclusion, l'expression 2 puissance 2n plus 2 puissance n plus 1 est divisible par 7 pour tous les entiers n qui ne sont pas multiples de 3. Il est important de noter que ces méthodes de congruence sont fondamentales et peuvent s'appliquer à d'autres exercices plus complexes.