Démo au programme : convexité et f''

La vidéo est une suite du précédent cours et parle des propriétés graphiques et du lien entre f'' et la convexité. Si f est une fonction deux fois dérivable, alors f'' représente sa dérivée seconde. Si f'' est positif sur i, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes. La démonstration de ce théorème est au programme. Elle se fait en plusieurs étapes. D'abord, on introduit les hypothèses et ce que l'on veut montrer. Ensuite, on met tout du même côté et on pose une fonction phi_a de x. On étudie ensuite cette fonction en montrant que sa dérivée est positive ou nulle. Puis, on conclut que phi_a est positive ou nulle pour tout x appartenant à i. Donc, la démonstration montre que la courbe représentative de f est au-dessus de sa tangente en tout point a de l'intervalle i.