Convexité et Inégalités

Ce cours porte sur l'étude de la convexité d'une fonction et l'utilisation de cette propriété pour résoudre des inégalités. Tout d'abord, la fonction f(x) = x³ - 2x² est considérée. Les dérivées première et seconde de cette fonction sont calculées et notées f'(x) et f''(x) respectivement. L'objectif est d'étudier le signe de f''(x) pour déterminer la concavité et la convexité de la fonction. Après avoir résolu l'équation 6x - 4 > 0, il est conclu que f''(x) > 0 lorsque x > 3/2 et f''(x) < 0 lorsque x < 3/2. Par conséquent, f est concave sur l'intervalle (-∞, 3/2) et convexe sur l'intervalle (3/2, +∞). Ensuite, l'équation de la tangente à la fonction f en x = -1 est déterminée en utilisant les formules appropriées. Cette équation est donnée par y = 7x + 4. Il est ensuite demandé de déduire que pour tout x négatif, x³ - 2x² < 7x + 4. En analysant cette inégalité, on remarque que l'interprétation géométrique est que la courbe de la fonction f est située en dessous de sa tangente. Cela est vrai lorsque la fonction est concave, ce qui a été prouvé précédemment sur l'intervalle (-∞, 3/2). Par conséquent, l'inégalité recherchée est vérifiée. L'utilisation de la convexité est soulignée car sans cette approche, il serait difficile de résoudre l'équation x³ - 2x² < 7x + 4, qui est de degré 3. En concluant, il est noté que la méthode présentée est efficace et que des exemples graphiques illustrent la propriété de la fonction f par rapport à sa tangente. Pour plus d'informations, les étudiants sont invités à consulter les questions fréquemment posées (FAQ).