Théorème des gendarmes

Le théorème de comparaison permet de démontrer que, si une suite VN tend vers l'infini, en la comparant à une suite UN plus petite et plus simple. Le théorème d'encadrement, également appelé théorème des gendarmes, est l'équivalent pour une limite finie. Il permet de montrer qu'une suite tend vers un réel fini en étant "prisonnière" entre deux autres suites convergentes vers la même limite. Ce théorème est très utile pour obtenir des résultats sur les suites sans avoir à se soucier des définitions formelles d'ε et d'A. Pour illustrer ce théorème, on prend l'exemple de la fonction sinus, qui converge vers 0. On encadre la suite sinn/n entre -1/n et 1/n, qui convergent toutes les deux vers 0. En utilisant le théorème des gendarmes, on peut en déduire que la suite sinn/n converge également vers 0. Ce théorème permet donc de simplifier les calculs en encadrant des suites plus complexes entre des suites plus simples dont on connaît la limite. Cependant, il n'est pas toujours possible d'utiliser le théorème des gendarmes dans toutes les situations. Parfois, on dispose de moins d'informations et on peut donc affirmer moins de choses. Néanmoins, il existe d'autres propriétés des suites, comme le fait que si deux suites sont ordonnées et convergentes, alors leurs limites seront également ordonnées de la même manière. Cette propriété intuitive doit également être connue et comprise. En résumé, le théorème des gendarmes, ou théorème d'encadrement, permet de démontrer que si une suite est "coincée" entre deux autres suites convergentes vers la même limite, alors elle converge également vers cette limite. Ce théorème est très pratique pour simplifier les calculs et obtenir des résultats sur les suites.