En un point réel, limite infinie

Lorsque nous parlons des limites de fonctions avec x tendant vers un réel a, nous avons deux cas principaux. Dans le premier cas, la fonction F tend vers l'infini ou moins l'infini. Dans le deuxième cas, la fonction F converge vers une valeur finie. Nous nous concentrerons d'abord sur ce deuxième cas, qui est plus simple mais aussi un peu bizarre. L'idée est que lorsque x se rapproche de a, la courbe de la fonction suit son cours normal et nous amène à différents points. Cela correspond à la notion de continuité, que nous étudierons plus en détail ultérieurement. Par exemple, si nous prenons la limite de x + 3 lorsque x tend vers 2, nous obtenons simplement 2 + 3, soit 5. Cependant, il existe des cas plus complexes, comme la limite de sin(x)/x lorsque x tend vers 0. Il s'agit d'un cas bizarre car cela donne 0/0, ce qui n'est pas évident à évaluer. Pour éviter cette division par 0, nous choisissons de définir la fonction sin(x)/x sur R* (l'ensemble des réels à l'exception de 0). Dans ce cas, il est possible de démontrer que la limite vaut 1. Sur un graphe, nous pouvons voir que la fonction sin(x)/x encadre le point (0,1) avec deux branches qui se rapprochent de ce point. Cela montre qu'il s'agit bien d'une limite où x tend vers 0 et la fonction converge vers 1. En ce qui concerne les limites infinies, nous utilisons la notion de plateau qui bloque la fonction. Pour pouvoir dépasser n'importe quel plateau, nous utilisons la définition suivante : F tend vers plus l'infini si F est indépassable par un plateau. Par exemple, pour une hyperbole, nous constatons que peu importe la taille du plateau, la fonction finira par le dépasser. Cela définit la notion de tendeur plus infini. Finalement, nous introduisons la notion d'asymptote verticale, qui est une droite à laquelle la fonction se colle lorsque x tend vers plus ou moins l'infini et a une limite plus l'infini en un point fini. Par exemple, lorsque la limite à gauche ou à droite de f(x) lorsque x tend vers a est infinie, nous appelons la droite x=a une asymptote verticale. En résumé, nous avons étudié les limites de fonctions lorsque x tend vers a. Dans certains cas, les fonctions tendent vers l'infini ou converge vers une valeur finie. Nous avons également introduit la notion d'asymptote verticale pour les limites plus l'infini en un point fini. N'hésitez pas à poser des questions supplémentaires ou à discuter avec d'autres dans la FAQ.