Continuité et suites : Théorème du point fixe

Une application importante de l'étude de la continuité est l'étude des suites. Le théorème du point fixe est un résultat fondamental qui s'applique à une fonction continue f sur un intervalle I et à une suite un définie de manière récurrente. Si la suite un converge vers l, qui appartient à I, alors f(l) = l. Ce théorème repose sur la continuité de la fonction f. La démonstration utilise la définition de la continuité et montre que f(un) converge également vers f(l), ce qui implique que l = f(l). Il est important de noter que ce résultat ne s'applique que si la fonction est continue. Ensuite, le cours rappelle que les convergences de suites définies de manière récurrente peuvent avoir des comportements différents en fonction de la forme de la fonction f. On peut observer une convergence en escalier ou une convergence en escargot, en fonction des variations de la fonction et de la suite.