TVI et expo

Dans ce cours, nous étudions graphiquement le nombre de solutions de l'équation E-x² = E2x-1. Nous observons les courbes des deux fonctions E-x² et E2x-1. La courbe de E-x² est une courbe en cloche de probabilité. Nous remarquons que la fonction noire est au-dessus de la fonction rouge pour les nombres négatifs, mais qu'il y a un changement de comportement aux nombres positifs où les deux fonctions s'intersectent. Nous séparons ensuite l'étude en deux parties : R- (les nombres négatifs) et R+ (les nombres positifs). Sur R-, nous démontrons que la fonction en cloche E-x² est strictement supérieure à l'autre fonction, ce qui prouve qu'il n'y a pas de solutions à l'équation dans cette plage de nombres. Sur R+, nous posons f2x = E-x² - E2x-1 et étudions sa décroissance. En utilisant les propriétés de l'exponentielle, nous montrons que f2x est strictement décroissante sur 0 plus l'infini. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, nous concluons qu'il existe une unique solution à l'équation sur R+. Finalement, nous concluons qu'il n'y a pas de solutions sur R- et une unique solution sur R, ce qui confirme notre intuition graphique. En résumé, l'équation E-x² = E2x-1 a une unique solution sur l'ensemble des réels.