Dérivabilité avec valeur absolue ?

Dans cet exercice, nous devons démontrer que la fonction donnée est continue sur l'ensemble des nombres réels (R) et qu'elle est dérivable partout sauf en 0. Tout d'abord, nous vérifions que la fonction 1 + x est définie sur R, car pour tout x, 1 + x est strictement supérieur à 0. Cela signifie qu'il n'y a pas de problème de définition dans le quotient. Ensuite, nous observons le graphique de la fonction sur une calculatrice pour avoir une intuition de sa continuité et de sa dérivabilité. Nous remarquons que la fonction semble se rapprocher de 1 lorsque x tend vers l'infini, de -1 lorsque x tend vers moins l'infini, et qu'elle semble être lisse et continue sans ruptures de pente. Nous pouvons conclure que la fonction est continue sur R, car le quotient de deux fonctions continues donne une fonction continue. Pour la dérivabilité, nous remarquons que la fonction est clairement dérivable dans tous les points sauf en 0. En effet, x est dérivable sur R et 1 + x en valeur absolue est dérivable partout sauf en 0. Nous supposons donc que la fonction sera également dérivable en 0. Nous déterminons ensuite l'expression de la fonction en fonction du signe de x. Cela est relativement simple, il suffit de prendre en compte le comportement de la fonction lorsque x est positif, négatif ou égal à 0. Nous effectuons ensuite une vérification rapide de la continuité de la fonction en 0 en calculant f(0) de chaque côté de 0. Nous obtenons la même valeur, ce qui confirme que la fonction est continue. Pour justifier la dérivabilité de la fonction partout sauf en 0, nous utilisons le fait que x est dérivable sur R. Nous calculons les dérivées de la fonction pour les nombres réels exceptés 0. Finalement, nous calculons les dérivées en 0 de chaque côté de 0 et obtenons des valeurs cohérentes. En conclusion, nous prouvons que la fonction est continue sur R et dérivable partout sauf en 0 à l'aide des différentes justifications analysées précédemment.