On redécouvre le log ?!

Dans ce cours, nous cherchons à déterminer les fonctions qui vérifient les conditions suivantes : f2ab = f2a + f2b et f'(1) = 1. Tout d'abord, nous reconnaissons la relation fonctionnelle du logarithme et la dérivée du logarithme en 1. Nous allons redémontrer ces propriétés. Nous commençons par supposer que la fonction f est définie en 0. En remplaçant a et b par 0 dans la relation donnée, nous obtenons 2f(0) = f(0), ce qui implique que f(0) = 0. Pour trouver une contradiction, nous prenons a différent de 0 et b égal à 0. Cela nous donne f(a) = 0. Comme f(0) = 0, nous en concluons que f est égale à 0 pour tous les réels possibles, ce qui contredit la condition de non-nulle de f. Nous pouvons donc démontrer que la fonction f ne peut pas être définie en 0. Par conséquent, nous allons considérer des fonctions définies sur 0+. Ensuite, nous montrons que f(1) = 0 en substituant a et b par 1 dans la relation donnée. Enfin, nous démontrons que f(x/y) = f(x) - f(y) en utilisant une astuce similaire à la démonstration du logarithme de a/b = log(a) - log(b). Dans la suite de l'exercice, nous devons montrer que f'(x) = 1/x pour tout x positif et h positif. Nous reconnaissons qu'il s'agit d'un taux d'accroissement et que nous devons montrer une propriété numérique avant de le traiter comme un taux d'accroissement en l'exploitant. En utilisant les relations précédentes, nous parvenons à démontrer que f'(x+h) - f'(x) = (1 + h/x) - 1/x = h/x². En prenant la limite de cette expression lorsque h tend vers 0, nous obtenons f'(x) = 1/x. Enfin, nous déterminons le sens de variation de f sur 0+ en utilisant le fait que f'(x) est toujours positif. En conclusion, nous avons retrouvé les propriétés du logarithme à partir des conditions f2ab = f2a + f2b et f'(1) = 1.