Dérivabilité et Variations

Le cours concerne l'étude d'une fonction faisant intervenir le logarithme. La fonction en question est ln(2x + 1) / ln(2x - 1). Elle est définie sur l'intervalle (0, +∞) exclu e, où e est exclu en raison de l'annulation du dénominateur en e. Pour étudier cette fonction, on utilise la dérivée de la fonction, qui est (u'v - uv') / v², avec u = ln(2x + 1) et v = ln(2x - 1). En effectuant les calculs, on obtient la dérivée simplifiée -2x / (ln(2x - 1))². Étant donné que le dénominateur est strictement positif sur (0, +∞), la dérivée est strictement négative sur cet intervalle. Cependant, il y a une valeur interdite en e, ce qui signifie que la fonction n'est pas décroissante sur tout l'intervalle. En réalité, elle décroît sur l'intervalle (0, e) et décroît sur (e, +∞). Il y a donc une discontinuité dans la fonction aux alentours de e. Pour obtenir un tableau de variation complet, on étudie les limites de la fonction en 0, e+, e- et +∞. En utilisant la méthode de factorisation par le terme dominant, on trouve que la limite de la fonction en 0 est égale à 1, tout comme la limite en +∞. Quant aux limites en e+, la fonction tend vers +∞, et en e-, elle tend vers -∞. En traçant la fonction, on observe une asymptote verticale à x = e (et non y = e) en raison de la valeur interdite, ainsi qu'une asymptote horizontale à y = 1, lorsque x tend vers l'infini. Il est important de noter que la fonction n'est décroissante que sur les intervalles (0, e) et (e, +∞), et il y a un saut de moins l'infini à plus l'infini au niveau de la valeur interdite e. Ceci conclut la méthode utilisée pour l'étude de cette fonction utilisant le logarithme. En cas de questions supplémentaires, vous pouvez vous référer à la FAQ.