Croissance Comparée

Dans cette transcription de vidéo, on étudie la fonction f(x) = 3-x + 2ln(2x). Tout d'abord, on dérive la fonction pour trouver son signe : f'(x) = -1 + 2x. On veut trouver les valeurs de x pour lesquelles f'(x) est supérieur à 0. En isolant x, on obtient que x doit être supérieur à 1. Donc f'(x) est positif sur [1, +∞). Ensuite, on calcule f(2) = 1 + 2ln(2) = 1 + ln(4) = ln(4) + 1. Pour étudier les limites de f, on utilise la technique de la croissance comparée. On factorise par un terme prédominant, x, et on obtient que lorsque x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers moins l'infini, et lorsque x tend vers 0, f(x) tend vers -∞. Grâce à ces informations, on peut construire le tableau de variation de f. On observe que f est décroissante sur [0,2] et croissante sur (2, +∞). Elle atteint son maximum en 2 où f(2) = ln(4) + 1. Ensuite, on étudie la convexité de f en calculant la seconde dérivée, f''(x) = -1/x^2. On trouve que f''(x) est strictement inférieur à 0 sur R étoile plus, ce qui signifie que f est concave sur R étoile plus tout entier. Pour plus d'informations, il est recommandé de consulter l'FAQ.